4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第 2 课时 等差数列前 n 项和的性质及应用 ► 对应学生用书 P18 高效导学第一步 梳理教材，必备基础知识 一、等差数列{an }的前 n 项和 Sn 的性质 1 ．设等差数列{an }的公差为 d，Sn 为其前 n 项和，则 Sm ，S2m－Sm ，S3m－S2m ， …仍构成 等差数列，且公差为 m2d. ( S n n )2 ．若数列{an }是公差为 d 的等差数列，则数列 也是等差数列，且公差为 . 3 ．在等差数列中，若 Sn ＝m ，Sm ＝n ，则 Sm＋n ＝－(m ＋n) . 4 ．设两个等差数列{an } ，{bn }的前 n 项和分别为 Sn ，Tn ，则b (a)n (n) ＝T2n (S2n)－ (－)1 (1). 5 ．若等差数列的项数为 2n ，则 S2n ＝n(an ＋an＋1) ，S 偶－S 奇 ＝nd，S (S) 奇 (偶) ＝(S 奇 ≠0) . 6 ．若等差数列的项数为 2n＋1 ，则 S2n＋1 ＝(2n＋1)an＋1(an＋1 是数列的中间项) ，S 偶－S 奇 = -an＋1 ，S (S) 奇 (偶) ＝(S 奇 ≠0) . 二、等差数列前 n 项和的最值 1 ．在等差数列{an }中， ( a n ≥ 0 ， a n ＋ 1 ≤ 0 ) ( 确定； 确定. ) ( a n ≤ 0 ， a n ＋ 1 ≥ 0 )当 a1>0 ，d<0 时，Sn 有最大值，使 Sn 取得最值的 n 可由不等式组 当 a1<0 ，d>0 时，Sn 有最小值，使 Sn 取得最值的 n 可由不等式组 ( 2 )2 ．Sn ＝n2 ＋ a1 －d n ，若 d≠0 ，则从二次函数的角度看：当 d>0 时，Sn 有最小值；当 d<0 时，Sn 有最大值．当 n 取最接近对称轴的正整数时，Sn 取到最值. [提醒] (1)当 a1>0 ，d>0 时，Sn 有最小值 S1 ， 当 a1<0 ，d<0 时，Sn 有最大值 S1； (2)Sn 取得最大或最小值时的 n 不一定唯一. 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”, 错误的打“ × ”) . (1)若等差数列{an }的前 n 项和 Sn ＝An2＋Bn(A≠0)，则其最大值或最小值一定在 n ＝－ 取得．( ) (2)若等差数列{an }的公差 d>0 ，则{an }的前 n 项和一定有最小值．( ) (3)设等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ，且 Sp ＝Sq(p ，q∈N*) ，则 Sn 在 n ＝(p＋q)处取得最 大值或最小值．( ) (4)等差数列{an }的前 n 项和 Sn ＝n2－3n ，则其最小值为－2.( ) 答案：(1)× (2) √ (3)× (4) √ 2 ．设 Sn 是等差数列{an }的前 n 项和，若a (a)3 (5) ＝9 (5) ，则S5 (S9) ＝( ) A ． 1 B ．－1 C ．2 D ． 解析：选 A. 由于 S2n－1 ＝(2n－1)an， 则S (S)5 (9) ＝5 (9)a (a)3 (5) ＝5 (9)×9 (5) ＝1. 3 ．《算法统宗》是中国古代数学名著， 由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠 算和 数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九 儿问甲歌 ”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知， 自长排来差三岁，共年二百 又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第 n 个儿子的年 龄为 an ，则 a1 等于( ) A ．35 B ．32 C ．23 D ．38 解析：选 A. 由题意可知，九个儿子的年龄成公差 d ＝－3 的等差数列，且九项之和为 207. 故 S9 ＝9a1 ＋d ＝9a1－108 ＝207 ，解得 a1 ＝35. 4 ． 已知 Sn 是等差数列{an }的前 n 项和 ，若 a1 ＝－2 ， 2 0 (S2)2 (02)3 (3) － 2 (S)02 (2 02)1 (1) ＝2 ，则 2 (S)0 (2)22 (022) = .