4.2.1 第2课时 等差数列的性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第 2 课时 等差数列的性质 ► 对应学生用书 P11 课程标准 核心素养 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性 质，并能运用这些性质简化运算. 2 ．能在具体的问题情境中，发现数列的等差 关系，并解决相应的问题. 1.逻辑推理：能根据等差数列的定义推出等差 数列的常用性质. 2 ．数学运算：能运用等差数列的性质简化计 算. 高效导学第一步 梳理教材，必备基础知识 一、等差数列通项公式的变形与推广 设等差数列{an }的首项为 a1 ，公差为 d，则 (1)an ＝dn＋(a1－d)(n ∈N*)； (2)an ＝am ＋(n －m)d(m ，n ∈N*)； (3)d ＝(m ，n ∈N* ，且 m ≠n) . [提醒] 上面(1)的几何意义是点(n ，an)均在直线y ＝dx＋(a1－d)上；(2)可以用来利用任一 项及公差直接求得通项公式，不必求 a1；(3)即斜率公式 k＝x (y)2 (2)－ (－)x1 (y1)，可用来由等差数列任两项 求公差. 二、等差数列的性质 1 ．下标性质：在等差数列{an }中，若 m ＋n＝p＋q(m ，n，p ，q∈N*) ，则 am ＋an ＝ap + aq . 2 ．特别地，若 m ＋n ＝2p(m ，n，p∈N*) ，则有 am ＋an ＝2ap . [拓展延伸] (1)推广：若 m ＋n＋p ＝x＋y＋z，则 am ＋an ＋ap ＝ax ＋ay ＋az； (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同； (3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即 a1 ＋an ＝a2 ＋an－1 ＝ …. 三、由等差数列衍生的新等差数列 若{an } ，{bn }分别是公差为 d，d ′ 的等差数列，则有 数列 结论 {c ＋an } 公差为 d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·an } 公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数) {an ＋an＋k} 公差为 2d 的等差数列(k 为常数，k∈N*) {pan＋qbn } 公差为pd＋qd′ 的等差数列(p ，q 为常数) 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”，错误的打“ × ”)． (1)等差数列{an }中，必有 a10 ＝a1 ＋a9.( ) (2)若数列 a1 ，a2 ，a3 ，a4 ， …是等差数列，则数列 a1 ，a3 ，a5 ， …也是等差数列．( ) (3)若数列 a1 ，a3 ，a5 ，…和 a2 ，a4 ，a6…都是公差为 d 的等差数列，则 a1 ，a2 ，a3…也是 等差数列．( ) (4)若数列{an }为等差数列，则 an＋1 ＝an－1＋2d，n>1 ，且 n ∈N* .( ) 答案：(1)× (2) √ (3)× (4) √ 2 ．在等差数列{an }中，a10 ＝18 ，a2 ＝2 ，则公差 d ＝( ) A ．－1 B ．2 C ．4 D ．6 解析：选 B. 由题意知 a10－a2 ＝8d，即 8d ＝16 ，d ＝2. 3 ．已知等差数列{an }满足 a1 ＋a2 ＋a3＋…＋a101 ＝0 ，则有( ) A ．a1 ＋a101>0 B ．a2 ＋a101<0 C ．a3 ＋a99 ＝0 D ．a51 ＝51 解析：选 C. ∵a1 ＋a2 +…+a101 ＝0， 又∵a1 ＋a101 ＝a2 ＋a100 ＝a3 ＋a99 = … =2a51 ， ∴101a51 ＝0 ， ∴a51 ＝0 ，a3 ＋a99 ＝2a51 ＝0. 4 ．在等差数列{an }(n ∈N*)中，若 a1 ＝a2 ＋a4 ，a8 ＝－3 ，则 a20 的值是 ． 解析： ∵数列{an }是等差数列， ∴a1 ＋a5 ＝a2 ＋a4 ，又 a1 ＝a2 ＋a4 ， ∴a5 ＝0 ， ∴d ＝ = ＝－1 ，故 a20 ＝a5＋15d＝－15. 答案：－15 高效导学第二步 典例探究，提升关键能力 题型一__由等差数列构造新等差数列 【例 1】 有两个等差数列 2 ，6 ，10 ，… ，190 和 2 ，8 ，14 ，… ，200 ，由这两个等差数 列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为( ) A ．15