章末总结(四) 数列-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

章末总结(四) 数列 ► 对应学生用书 P44 [知识体系建构 · 关键理清]__ [高频考点聚焦 ·整合提升]__ 考点一__等差、等比数列的判定 判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形 是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列. 【例 1】 (2022 · 安徽黄山一模)设数列{an }的前 n 项和为 Sn ，已知 a1 ＝1 ，Sn＋1 ＝4an＋2. (1)设 bn ＝an＋1－2an ，证明：数列{bn }是等比数列； (2)求数列{an }的通项公式. 解：(1)证明： 由 a1 ＝1 及 Sn＋1 ＝4an＋2， 有 a1 ＋a2 ＝S2 ＝4a1＋2 ＝6. ∴a2 ＝5 ， ∴b1 ＝a2－2a1 ＝3. Sn＋1 ＝4an＋2 ， ① 又 Sn ＝4an－1＋2（n ≥2）， ② ①-② , 得 an＋1 ＝4an－4an－1 (n ≥2)， ∴an＋1－2an ＝2(an－2an－1)(n ≥2). ∵bn ＝an＋1－2an ， ∴bn ＝2bn－1(n ≥2)， 故{bn }是首项 b1 ＝3 ，公比为 2 的等比数列. (2)由(1)知 bn ＝an＋1－2an ＝3·2n－ 1， ( 2 n ＋ 1 )∴an＋1 an 故 2n ( - )3 = , 4 是首项为 ，公差为 的等差数列. ∴2 (a)n (n) ＝2 (1) ＋(n－1) ·4 (3) ＝3n4 (－) 1 ， 故 an ＝(3n－1) ·2n－2 . [总结] 判断和证明数列是等差(比)数列的方法 ( 或 a n ＋ 1 )(1)定义法：对于 n ≥1 的任意自然数，验证 an＋1－an an 为与正整数 n 无关的常数. (2)中项公式法： ①若 2an ＝an－1＋an＋1(n ∈N* ，n ≥2) ，则{an }为等差数列. ②若 an (2) ＝an－1 ·an＋1(n ∈N* ，n ≥2 且 an ≠0) ，则{an }为等比数列. (3)通项公式法：an ＝kn＋b(k，b 是常数)⇔ {an }是等差数列；an ＝c ·qn(c ，q 为非零常数) ⇔ {an }是等比数列. (4)前 n 项和公式法：Sn ＝An2＋Bn(A，B 为常数，n ∈N*) ⇔ {an }是等差数列；Sn ＝Aqn－A(A， q 为常数，且 A≠0 ，q≠0 ，q≠1 ，n ∈N*) ⇔ {an }是公比不为 1 的等比数列. 【跟踪训练】 1. 已知数列{an }满足 a1 ＝ ，且当 n>1 ，n ∈N* 时，有 ＝ . 1 (1)求证：数列an 为等差数列； (2)试问 a1a2 是否是数列{an }中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 解：(1)证明： 当 n ≥2 时， 由 ＝ ，得 an－1－an ＝4an－1an， 两边同除以 an－1an， 得 － ＝4. 1 所以数列an 是首项 ＝5 ，公差 d ＝4 的等差数列. ( 1 = a 1 )(2)由(1)得 +(n－1)d ＝4n＋1， 所以 an ＝ 1 4n＋1 ， 所以 a1a2 ＝ × ＝ ， 假设 a1a2 是数列{an }中的第 t 项， 则 at ＝ ＝ ， 解得 t ＝11∈N*， 所以 a1a2 是数列{an }中的第 11 项. 考点二__等差与等比数列的基本运算 数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项 公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前 n 项和等，一般试题难度较小. 【例 2】 在等比数列{an }中，已知 a1 ＝2 ，a4 ＝16. (1)求数列{an }的通项公式； (2)若 a3 ，a5 分别为等差数列{bn }的第 3 项和第 5 项，试求数列{bn }的通项公式及前 n 项 和 Sn . 解：(1)设数列{an }的公比为 q， 由已知得 16 ＝2q3 ，解得 q ＝2， 所以 an ＝2×2n－ 1 ＝2n ，n ∈N* . (2)由(1)得 a3 ＝8 ，a5 ＝32 ，则 b3 ＝8 ，b5 ＝32. 设数列{bn }的公差为 d， ( b 1 ＋ 4 d ＝ 32 ， )b1＋2d ＝8， ( d ＝ 12 ， )b1 ＝－16， 所以 bn ＝－16＋12(n－1) ＝12n－28 ，n ∈N* . 所以数列{bn }的前 n 项和 Sn ＝ ＝6n2－22n ，n ∈N* . [总结] 在等差数列和等比数列的通项公式 an