微专题(一) 等差数列的性质的综合问题-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

微专题(一) 等差数列的性质的综合问题 ► 对应学生用书 P13 题型一 等差数列的实际应用 【例 1】 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起， 小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日 影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺(1 m ＝3 尺) ，芒种的 日影子长为 4.5 尺，则立夏的日影子长为( ) A ．15.5 尺 B ．12.5 尺 C ．9.5 尺 D ．6.5 尺 解析：选 D.设该等差数列为{an } ，冬至、小寒、大寒、 …芒种的日影子长分别记为 a1， a2 ，a3 ， … , a12 ，公差为 d，由题意可得， a1 ＋a4 ＋a7 ＝37.5 ，即 a4 ＝12.5 ，又 a12 ＝4.5 ，所以 d ＝ ＝－1. 所以立夏的日影子长为 a10 ＝a4＋6d ＝12.5－6 ＝6.5(尺) . [总结] 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 (1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建 模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该 数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际 问题中． (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题． 【跟踪训练】 1.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分 五钱，令上二人所得与下三人等． 问各得几何． ”其意思为“ 已知甲、乙、丙、丁、戊五人 分 5 钱， 甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等 差数列． 问五人各得多少钱？ ”(“钱 ”是古代的一种重量单位) ．这个问题中， 乙所得为 钱． 解析： 由题意，设这五人所得钱分别为 a＋2d，a＋d，a ，a－d，a－2d， ( 6 )则 a＋2d＋a＋d ＝a ＋a－d＋a－2d，且 5a ＝5 ，所以 a ＝1 ，d ＝， 所以乙所得为 a＋d ＝7(钱) . 答案： 2 ．假设某市 2022 年新建住房 400 万平方米，预计在此后的若干年内，该市每年新建住 房面积均比上一年增加 50 万平方米．那么该市在 年新建住房的面积开始大于 820 万平方米. 解析：设 n 年后该市新建住房的面积为 an 万平方米．由题意，得{an }是等差数列，首项 a1 ＝450 ，公差 d ＝50 ，所以 an ＝a1＋(n－1)d ＝400＋50n.令 400＋50n>820 ，解得 n> . 由于 n ∈N* ，则 n ≥9.所以该市在 2031 年新建住房的面积开始大于 820 万平方米. 答案：2031 题型二 等差数列中项的设法 【例 2】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为 94 ，首尾两数 之积比中间两数之积少 18 ，求此等差数列. 解：设四个数为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则 （a－3d）2 ＋（a－d）2 ＋（a＋d）2 ＋（a＋3d）2 ＝94， （a－3d）（a＋3d）＋18 ＝（a－d）（a＋d）， 又因为是递增数列，所以d>0， 所以解得 a = ± ，d ＝， 此等差数列为－1 ，2 ，5 ，8 或－8 ，－5 ，－2 ，1. [总结] 等差数列的设项方法和技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为 a1 ，公差为 d，利用 已知条件建立方程(组)求出 a1 和 d，即可确定此等差数列的通项公式. (2)当已知数列有 3 项时，可设为 a－d，a ，a＋d，此时公差为 d.若有 5 项、7 项、 …时， 可同理设出. (3)当已知数列有 4 项时，可设为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为 2d.若有 6 项、 8 项、 …时，可同理设出. 【跟踪训练】 3. 已知五个数成等差数列，它们的和为 5 ，平方和为 ，求这 5 个数. 解：设第三个数为 a ，公差为 d， 则这 5 个数分别为 a－2d，a－d，a ，a＋d，a＋2d. 由已知有 （a－2d）＋（a－d）＋a ＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5， （a－2d）2 ＋（a－d）2 ＋a2 ＋（a＋d）2 ＋（a＋2d）2 ＝， 5a ＝5， 整理得5a2＋10d2 ＝ . a ＝1， 解得d = ± . 当 d＝时，这 5 个数分别是－ ， ，1，，； 当 d＝－时，这 5 个数分别是， ，1， ，－ . 综上，这 5 个数分别是－ ， ，