微专题(二) 数列中的构造问题-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

微专题(二) 数列中的构造问题 ► 对应学生用书 P29 题型一__形如 an＋1＝pan＋q 的递推关系求通项公式 【例 1】 已知数列{an }满足 a1 ＝1 ，an＋1 ＝2an＋1 ，求{an }的通项公式. 解： ∵an＋1 ＝2an＋1 ，an＋1＋t ＝2(an ＋t) ，即 an＋1 ＝2an ＋t ， ∴t ＝1， 即 an＋1＋1 ＝2(an＋1) ， ∴数列{an＋1}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. ∴an＋1 ＝2×2n－ 1 ， ∴an ＝2n－1. [总结] 形如 an＋1＝pan＋q(其中p ，q 为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项 公式，步骤如下： 第一步：假设递推公式可改写为 an＋1＋t＝p(an ＋t)； 第二步： 由待定系数法，解得 t＝ ； ( a n ＋ q )第三步：写出数列 p－1 的通项公式； 第四步：写出数列{an }的通项公式. 【跟踪训练】 1. 已知数列{an }满足 a1 ＝－2 ，an＋1 ＝2an＋4.证明数列{an＋4}是等比数列， 并求数列{an }的通项公式. 解： ∵a1 ＝－2 ， ∴a1＋4 ＝2. ∵an＋1 ＝2an＋4 ， ∴an＋1＋4 ＝2an＋8 ＝2(an＋4)， ∴an＋1＋4 ＝2 an＋4 ， ∴{an＋4}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. ∴an＋4 ＝2×2n－ 1 ＝2n ，即 an ＝2n－4. 题型二__形如 an＋1＝ (r，p ，q 为常数，r>0，p，q ，an ≠0)的递推关系求通项公 式 【例 2】 已知数列{an }满足 a1 ＝1 ，an＋1 ＝ 2an ，则 a5 的值为 . an＋2 ________ 解析： 由递推关系及 a1 ＝1 可得 an ≠0 ，anan＋1＋2an＋1 ＝2an ，即 anan＋1 ＝2an－2an＋1 ，据 此有 － ＝ ， 又 ＝1 ，故数列 1 an 是首项为 1 ，公差为 的等差数列，则 ＝1+ ×(5－1) ＝3 ，故 a5 ＝ . 答案： 1 3 [总结] an＋1＝ (r，p ，q 为常数，r>0，p ，q ，an ≠0)的求解方法是等式两边同时 取倒数变形构造出线性递推式 bn ＝Abn－1＋B(n ≥2 ，A ，B 是常数) ，进而求解. 【跟踪训练】2.在数列{bn }中，b1 ＝－1，bn＋1 ＝ ，n ∈N*，则通项公式 bn = . 解析：递推式 bn＋1 ＝ 的两边同时取倒数， 得 ＝ ，即 ＝2· ＋3， 因此 ＋3 ＝2 · ＋3 ， ＋3 ＝2， 故 ＋3 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 于是 ＋3 ＝2 ·2n－ 1 ＝2n ，可得 bn ＝ (n ∈N*). 答案： (n ∈N*) 题型三__形如 an＝pan－1＋pn 的递推关系求通项公式 【例 3】 (1)已知数列{an }满足 an ＝2an－1＋2n(n ≥2) ，且 a1 ＝1 ，求数列{an }的通项公式. 解： 因为 an ＝2an－1＋2n ，等式两边同时除以 2n ，得 an 以 2n 是以2 (1) 为首项， 以 1 为公差的等差数列，即2 (a)n (n) ＝2 (1) 2n. ( + 1 ) ( = )an－1 2n－ 1 +(n－1)× ( 2 n 2 n － 1 ， n － 1 ), 即an －an－1 ＝1 所 1 ，所以 an ＝ 2 × (2)已知数列{an }满足 an ＝2an－1＋2n＋ 1, 且 a1 ＝1 ，求数列{an }的通项公式. an 解：等式两边同时除以 2n，得2 (a)n (n) ＝2 (a)n (n)－ 1 (－1) ＋2 ，即2 (a)n (n) －2 (a)n (n)－ (－)1 (1) ＝2，所以2n 是以2 (1) 为首项， ( 以 2 为公差的等差数列，所以 2 n ＝ 2 ＋ ( n － 1) × 2 ，即 a n ＝ 2 × 2 n . )an 1 2n －3 (3)已知数列{an }满足 an ＝2an－1＋2n－ 1, 且 a1 ＝1 ，求数列{an }的通项公式. an