5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第 2 课时 导数的几何意义 ► 对应学生用书 P55 课程标准 核心素养 通过函数图象直观理解导数的几何意义. 1.直观想象：通过函数图象直观理解导数的几 何意义. 2 ．数学运算：求切线方程. 高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x ＝x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜 率．也就是说，曲线y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0) ．相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x －x0) . 二、导函数(导数)的定义 从求函数f(x)在 x ＝x0 处导数的过程可以看出，当 x ＝x0 时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这 样，当 x 变化时，y＝f′(x)就是 x 的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导 函数记作f′(x)或y ′ ，即f′(x)＝y ′ = Δx (li)0 . [提醒] (1)f′(x0)是具体的值，是数值. (2)f′(x)是函数，f(x)在某区间 I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数. 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”, 错误的打“ × ”). (1)函数在 x ＝x0 处的导数f′(x0)是一个常数．( ) (2)函数y＝f(x)在 x ＝x0 处的导数值就是曲线y＝f(x)在 x ＝x0 处的切线的斜率．( ) (3)直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点．( ) (4)曲线y ＝ 在点(1 ，1)处切线的斜率为－1.( ) 答案：(1) √ (2) √ (3)× (4) √ 2 ．已知曲线f(x) ＝ x2 ＋x 的一条切线的斜率是 3 ，则该切点的横坐标为( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 解析：选 D. ∵Δy＝f(x +Δx)－f(x) ＝ (x +Δx)2＋(x +Δx) － x2 －x ＝x · Δx＋ (Δx)2 +Δx， ( Δ x → 0 )∴ ＝x ＋ Δx＋1 ， ∴f′(x) ＝ lim ＝x＋1. 设切点坐标为(x0，y0) ，则f′(x0) ＝x0＋1 ＝3 ， ∴x0 ＝2. 3 ． 曲线f(x) ＝ 在点(3 ，3)处的切线的倾斜角α等于( ) A ．45 ° B ．60 ° C ．135 ° D ．120 ° 解析：选 C.f′(x) = Δx (li)0 = 9 lim － ＝－9 lim 1 ＝－9 ，所以f′(3) ＝－1. 又切线的 Δx →0 Δx Δx →0 （x +Δx）x x2 倾斜角α 的范围为 0 ° ≤ α<180 ° , 所以所求倾斜角为 135 °. 4 ．已知曲线y ＝2x2＋4x 在点 P 处的切线斜率为 16 ，则 P 点坐标为 . 解析：令f(x) ＝2x2＋4x，设点 P(x0，2x0 (2) ＋4x0)，则f′(x0) = Δx (li)0 ( 2 (Δ x ） 2 ＋ 4 x 0 ·Δ x ＋ 4 Δ x Δ x )= lim ＝4x0＋4， Δx →0 令 4x0＋4 ＝16 ，得 x0 ＝3 ， ∴P(3 ，30). 答案：(3 ，30) 高效导学第二步—— 典例探究，提升关键能力 题型一 导数的几何意义 【例 1】 已知曲线y ＝ x3 ＋ . (1)求曲线在点 P(2 ，4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2 ，4)的切线方程. 解：(1)∵P(2 ，4)在曲线y ＝ x3 ＋ 上， ∴曲线在点 P(2 ，4)处切线的斜率为 k ＝ lim Δx →0 1 3 （2+Δx）3 ＋- ×23 ＋ Δx = lim Δx →0 4＋2Δx＋ (Δx）2 =4. ∴曲线在点 P(2 ，4)处的切线方程为y－4 ＝4(x－2) ，即 4