5.1.2 第1课时 导数的概念-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

5 ．1.2 导数的概念及其几何意义 ► 对应学生用书 P51 第 1 课时 导数的概念 课程标准 核心素养 1. 了解导数概念的实际背景. 2 ．知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 体会导数的内涵与思想. 1.数学抽象、直观想象：对导数概念的理解. 2．数学运算：会用导数的概念求函数的导数. 高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、函数的平均变化率 对于函数y＝f(x) ，设自变量 x 从 x0 变化到 x0 + Δx ，相应地，函数值y 就从f(x0)变化到 f(x0 + Δx).这时，x 的变化量为 Δx，y 的变化量为Δy＝f(x0 + Δx)－f(x0)．我们把比值 ，即 ＝ 叫做函数y＝f(x)从 x0 到 x0 + Δx 的平均变化率. 二、函数在某点处的导数 如果当 Δx →0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y = f(x)在 x ＝x0 处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在 x ＝x0 处的导数(也称为瞬时变化率)，记 ( Δ x → 0 Δ x → 0 )作f′(x0)或y′ |x ＝x0 ，即f′(x0) ＝ lim ＝ lim . [提醒] (1)曲线切线的斜率即函数y＝f(x)在 x ＝x0 处的导数； (2)瞬时变化率、 曲线切线的斜率、 函数在该点的导数，三者等价. 【基础自测】 1 ．函数y ＝1 在[2 ，2+ Δx]上的平均变化率是( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D . Δx 解析：选 A. ＝ ＝0. 2 ．若函数f(x)可导，则 Δx (li)0 等于( ) A ．－2f′(1) B ． f′(1) ( 1 ) ( 2 )C ．－1 f′(1) D．f′ 2 解析：选 C. lim Δx→0 f（1-Δx）－f（1） 2Δx = - lim Δx →0 ( = - )f[1+(-Δx）]－f（1） -Δx f′(1). 3 ．已知函数f(x) ＝2x2－4 的图象上一点(1 ，－2)及邻近一点(1+ Δx ，－2+ Δy) ，则 等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx)2 解析：选 C. Δy ＝f（1+Δx）－f（1） Δx Δx 2（1+Δx）2－2 = Δx =4＋2Δx. 4 ．已知函数f(x) ＝ ，则f′(1) = . 解析：f′(1) = Δx (li)0 = lim Δx →0 = lim Δx →0 ( 1 2 )答案： 1+Δx－1 Δx 1 ＋1 1 = . 2 高效导学第二步—— 典例探究，提升关键能力 题型一__求函数的平均变化率 【例 1】 已知函数f(x) ＝x2， (1)计算函数f(x)从 x ＝1 到 x ＝1+ Δx 的平均变化率，其中 Δx 的值为①2；②1；③0. 1； ④0.01； (2)当 Δx 越来越小时，函数f(x)在区间[1 ，1+ Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解：(1)因为Δy＝f(1+Δx)－f(1) ＝(1+Δx)2－12 ＝(Δx)2＋2Δx， 所以 (Δx）2＋2Δx = Δx = Δx＋2. ①当Δx ＝2 时， = Δx＋2 ＝4. ②当Δx ＝1 时， = Δx＋2 ＝3. ③当Δx ＝0. 1 时， = Δx＋2 ＝2. 1. ④当Δx ＝0.01 时， = Δx＋2 ＝2.01. (2)当Δx 越来越小时， 由(1) = = Δx＋2 得，函数f(x)在区间[1 ，1 +Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于 2. [总结] 求平均变化率可根据定义将相应量代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变 量的变化量 Δx 与函数值的变