模块复习课(三) 函数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

[对应学生用书P81] [对应学生用书P82] 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为[a, b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 提醒：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围． [训练1]　函数y＝＋的定义域为(　　) A．　　 　　　　 B． C． D．∪(0，＋∞) B　解析：由解得－≤x≤，所以函数y＝＋的定义域为. [训练2]　函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　) A． B． C． D．∪ D　解析：由题意得解得x<1，且x≠. [训练3]　已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，则y＝f(1－3x)的定义域为(　　) A． B． C． D． C　解析：由－1≤x≤2，得－2≤x－1≤1， 所以－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1. 1．若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图像上的几个关键点，直接画出图像即可，有些可能需要根据定义域进行取舍． 2．若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线．三个基本步骤作出y＝f(x)的图像． [训练4]　已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图像是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 B　解析：由函数g(x)的图像知，g(2)＝1，则f (g(2))＝f(1)＝2. [训练5]　已知函数f(x)＝方程f2(x)－bf(x)＝0，b∈(0, 1)，则方程的根的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　解析：因为f2(x)－bf(x)＝0， 所以f(x)＝0或f(x)＝b， 作函数f(x)＝的图像如图， 结合图像可知，f(x)＝0有两个不同的根，f(x)＝b，(0<b<1)有三个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5. 函数单调性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围． 提醒：判断函数的奇偶性时要特别注意定义域是否关于原点对称． [训练6]　若函数f(x)＝x＋＋1为奇函数，则a＝________． －1　解析：若函数f(x)＝x＋＋1为奇函数， 则f(－x)＝－x－＋2a＋1＋1＝－f(x)＝－x－－(2a＋1)－1， 所以2(2a＋1)＋2＝0，则a＝－1. [训练7]　已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是________． (3，＋∞)　解析：依题意得，不等式f(x)＜f(2x－3)等价于x＜2x－3，由此解得x＞3，即满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是(3，＋∞). [训练8]　函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数． (1)求函数f(x)的解析式； (2)用单调性定义证明函数f(x)在(0，1)上是增函数． (1)解：因为函数f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数， 所以f(0)＝0，即＝0， 所以b＝0，所以f(x)＝. (2)证明：任取x1，x2∈(0，1)，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝－＝ ＝， 因为0<x1<x2<1，所以x2－x1>0，1－x1x2>0， 1＋x>0，1＋x>0， 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)＞f(x1) 所以f(x)在(0，1)上是增函数． 1．建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤 (1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示． (2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解． 2．建模的三个原则 (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果． (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题． [