模块复习课(二) 等式与不等式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

[对应学生用书P79] [对应学生用书P79] 数或式比较大小的方法 (1)作差或作商比较法． (2)找中间量来比较， 往往找1或0. (3)特值法，对相关的式子赋值计算得出结果． (4)数形结合法，画出相应的图形， 直观比较大小． [训练1]　若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A，B的大小关系为________． A＜B　解析：因为A－B＝(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝x2＋10x＋21－(x2＋10x＋24)＝－3＜0，所以A＜B. [训练2]　已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小． 解：a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2) ＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2) ＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a) ＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a) ＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a) ＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a) ＝(a－b)(a－c)(b－c). 因为a＜b＜c，所以a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0， 所以(a－b)(a－c)(b－c)＜0. 所以a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2. 应用时容易出错的不等式的性质 (1)同向不等式可以相加；异向不等式可以相减； 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d， 若a＞b，c＜d则a－c＞b－d， 但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减． (2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘． 若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd； 若a＞b＞0，0＜c＜d，则＞. (3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方． 若a＞b＞0，则an＞bn或＞. (4)若ab＞0，a＞b，则＜，若ab＜0，a＞b，则＞. [训练3]　若a＞b, x＞y，下列不等式正确的是(　　) A．a＋x＜b＋y B．ax＞by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x＜(a－b)y C　解析：因为当a≠0时， |a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y. [训练4]　已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是(　　) A．xy＞yz　　　　　　　 B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y| C　解析：因为x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，又y＞z，所以xy＞xz. [训练5]　下列命题中，正确的是(　　) A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＞b C．若＜，则a＜b D．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d C　解析：取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c＜0时，ac＞bc，则a＜b，所以B错误；因为＜，所以c≠0，又c2＞0，所以a＜b，C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误． (1)一元二次不等式常与集合运算相结合． (2)三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键． (3)含参数的一元二次不等式恒成立问题是常见题型，关键是等价转化与合理分类．构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向． [训练6]　若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________． 2　解析：因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)， 所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1， 则解得 [训练7]　解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0. 解：当a＝0时，解集为R； 当a＞0时，Δ＝－12a＜0，所以解集为R； 当a＜0时，Δ＝－12a＞0， 方程ax2－2ax＋a＋3＝0的两根分别为，，所以此时不等式的解集为 . 综上所述，当a≥0时，原不等式的解集为R； 当a＜0时，原不等式的解集为 . 基本不等式通常用来求最值问题 一般用a＋b≥2(a>0，b>0)解“积定求和，和最小”问题，用ab≤()2解“和定求积，积最大”问题． [训练8]　设a，b，c为正实数，且满足a－3b＋2c＝0，则的最小值是________. 　解析：因为a，b，c为正实数，a－3b＋2c＝0，所以b＝. 则＝≥＝，当且仅当a＝2c，b＝时取等号，所以的最小值是. [训练9]　设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值． 解：因为＋＝3，所以(＋)＝1. 所以2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×(＋) ＝(4＋＋)≥(4＋2)＝＋＝. 当且仅当＝，即y＝2x时，取等号． 又因为＋＝3，所以x＝，y＝. 所以2x＋y的最小值为. 在实际应用中，经常涉及函数y＝x＋(k>0).一定要注意基本不等式