2.2.1 不等式及其性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

2．2　不等式 2．2.1 不等式及其性质 课程标准 学科素养 1．通过对比，理解等式和不等式的共性与差异． 2．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 通过对等式及其性质的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养． [对应学生用书P34] 1．不等式：用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，称为不等式． 注意：a≥b⇔a>b或a＝b;_a≤b⇔a<b或a＝b． 2．比较实数大小的依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0． 1．在下列式子中，不是不等式的是(　　) A．m≤0　　　　　　　　 B．－1>－ C．x＝5 D．2x2＋x>1 答案：C 2．设M＝4＋x2，N＝4x，则M与N的大小关系为(　　) A．M ≥N B．M＝N C．M≤N D．与x有关 A　解析：因为M－N＝4＋x2－4x＝(x－2)2≥0.所以M≥N. 1．不等式的性质 性质1　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 性质2　如果a>b，c>0，那么ac>bc． 性质3　如果a>b，c<0，那么ac<bc． 性质4　如果a>b，b>c，那么a>c．(传递性) 性质5　如果a>b⇔b<a．(对称性) 2．不等式性质的推论 推论1　如果a＋b>c，则a_>c－b．(移项法则) 推论2　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d． 推论3　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd． 推论4　如果a>b>0，那么an>_bn(n∈N，n>1)． 推论5　如果a>b>0，那么_>，>. 1．思考辨析 (1)若a>b，则ac>bc一定成立．(　　) (2)a>b⇔a＋c>b＋c.(　　) (3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容是(　　) A．＝ B．< C．＝，且< D．＝或< 答案：D 3．已知a>b，c>d，且cd≠0，则(　　) A．ad>bc B．ac>bc C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d D　解析：a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项，故选D项． 4．若a>b>0，n>0，则________.(填“>”“<”或“＝”) <　解析：因为a>b>0，n>0，所以an>bn>0. 因为>0， 所以an·>bn·，所以>. 1．作差法：通过比较两式之差的符号判断两式的大小，这种方法通常称为作差法． 2．综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p为已知或已经得到的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论． 3．反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立，这种得到数学结论的方法通常称为反证法，它是一种间接证明的方法． 4．分析法：分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． 　(教材P63练习AT5改编)欲证－＜－，只需证(　　) A．(－)2＜(－)2 B．(－)2＜(－)2 C．(＋)2＜(＋)2 D．(－－)2＜(－)2 C　解析：∵＋＞0，＋＞0， ∴－＜－⇔＋＜＋⇔(＋)2＜(＋)2. [对应学生用书P35] 已知x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小． 解： (x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， 因为x2－x＋1＝(x－)2＋≥>0， 所以当x>1时，(x－1)(x2－x＋1)>0， 即x3－1>2x2－2x； 当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x； 当x<1时，(x－1)(x2－x＋1)<0，即x3－1<2x2－2x. 作差法比较两个代数式大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形； (3)定号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)结论． 这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提. [训练1]　已知a、b为正实数，试比较＋与＋的大小． 解：(＋)－(＋)＝(－)＋(－) ＝＋＝ ＝. 因为a、b为正实数， 所以＋>0，>0，(－)2≥0. 于是有≥0， 当且仅当a＝b时等号成立， 所以＋≥＋，当且仅当a＝b时取等号． 已知c>a>b>0，求