单元素养强化练(三) 函 数（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

单元素养强化练(三)　函　数 [对应学生用书P151] 1．函数f(x)＝的图像是(　　) C　解析：由于f(x)＝＝所以其图像为C. 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(　　) A．y＝x＋1　 　　　　　　 B．y＝－x2 C．y＝ D．y＝x|x| D　解析：函数y＝x＋1为非奇非偶函数；函数y＝－x2为偶函数；函数y＝和y＝x|x|是奇函数，但y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数． 3．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则(　　) A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3) C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2) A　解析：f(x)为偶函数，故f(2)＝f(－2).又由题意知，当x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3＞2＞1， 所以f(3)＜f(2)＜f(1)，即f(3)＜f(－2)＜f(1). 4．设f(x)＝，若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) A　解析：由题意，当x>0时，f(x)的最小值为f(1)＝2，当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝a.若f(0)是f(x)的最小值，则a≤2. 5．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．g(x)＝f(x)＋1为奇函数 D．g(x)＝f(x)＋1为偶函数 C　解析：因为对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，所以令x1＝x2＝0，得f(0)＝－1；令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，所以g(x)＝f(x)＋1＝－f(－x)－1＝－[f(－x)＋1]＝－g(－x)，所以g(x)＝f(x)＋1为奇函数． 6．(多选题)给出定义：若m－＜x≤m＋(其中m为整数)，则称m为离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.则下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个命题中是真命题的有(　　) A．函数y＝f(x)的定义域是R，值域是(－，] B．函数y＝f(x)是偶函数 C．函数y＝f(x)是奇函数 D．函数y＝f(x)在(－，]上单调递增 AD　解析：化简函数解析式可得， f(x)＝x－{x}＝ 画出函数的图像，如图所示， 由图像可知函数y＝f(x)的定义域是R，值域是(－，]，故A为真命题；由图可以得出，函数图像既不关于y轴对称，也不关于坐标原点对称，且f(x)在(－，]上单调递增，故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，从而B，C为假命题，D为真命题． 7．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________． 4　解析：因为f(x)是奇函数，所以g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝4. 8．已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________． x＋　解析：因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋. 9．已知f(x)，g(x)均为奇函数，F(x)＝af(x)＋bg(x)－2，且F(－3)＝5，则F(3)的值为________． －9　解析：设G(x)＝af(x)＋bg(x). 因为f(x)，g(x)为奇函数，所以G(x)为奇函数． 因为F(－3)＝G(－3)－2＝5，所以G(－3)＝7. 所以G(3)＝－G(－3)＝－7， 所以F(3)＝G(3)－2＝－7－2＝－9. 10．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＋f(－a)＞0，则实数a的取值范围是__________． (－2，1)　解析：作出函数图像如图所示， 由图像知，函数f(x)是奇函数，且在R上是增函数， 由f(2－a2)＋f(－a)＞0知f(2－a2)＞－f(－a)， 即f(2－a2)＞f(a). 所以2－a2＞a，解得－2＜a＜1. 实数a的取值范围是(－2，1). 11．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时， f(x)＝－x2＋2x＋2. (1)求f(－1)； (2)求f(x)的解析式； (3)画出f(x)的图像，并指出f(x)的单调区间． 解：(1)由于函数f(x)是R上的奇函数，所以对任意的x都有f(－x)＝－ f(x)， 所以f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2＋2)＝－3. (2)设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2. 又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x). 因此， f(x)＝x2＋2x－2. 又因为f(0)＝0，