模块复习课(九) 概率（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．互斥事件与对立事件的概率计算 (1)若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). (2)设事件A的对立事件是，则P(A)＝1－P(). 2．求复杂事件的概率常用的两种方法 (1)直接法：将所求事件转化成彼此互斥的事件的和． (2)间接法：先求其对立事件的概率，然后应用公式P(A)＝1－P()求解． [训练1]　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题． (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 解　把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.则试验的样本空间包含的样本点个数为5×4＝20. (1)设事件A表示“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，B表示“甲抽到判断题，乙抽到选择题”，M表示“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”，则M＝A∪B. 因为A＝{(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)}，共有6个样本点，B＝{(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)}，共有6个样本点， 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝. 因为事件A与事件B互斥， 所以P(M)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 故甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率为. (2)设事件C表示“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”，则表示“甲、乙两人都抽到判断题”，即＝{(p1，p2)，(p2，p1)}，共有2个样本点，P()＝＝， 所以P(C)＝1－P()＝1－＝. 故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为． 在应用古典概型的概率公式P(A)＝＝时，关键是分清事件A和样本空间Ω包含的样本点个数m和n，有时需用列举法把样本点一一列举出来，但列举时必须按某一顺序，做到不重复、不遗漏． [训练2]　有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，小华将这四张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张． (1)用画树状图法(或列表法)表示试验的样本空间(纸牌用A，B，C，D表示). (2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率． 解　(1)树状图如下图所示： 列表如下： A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) (2)在A，B，C，D四张纸牌中，牌面图形是中心对称图形的是B，C，所以摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌包含4个样本点，即(B，B)，(B，C)，(C，B)，(C，C)，故所求概率是＝. [训练3]　某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层随机抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目． (2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析． ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率． 解　(1)由分层随机抽样的定义知， 从小学抽取的学校数目为6×＝3， 从中学抽取的学校数目为6×＝2， 从大学抽取的学校数目为6×＝1. (2)①在抽取的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，1所大学记为A6，则抽取2所学校的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点． ②“抽取的2所学校均为小学”记为事件B，则事件B＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个样本点， 所以P(B)＝＝. 　概率是一个理论值，频率是概率的近似值，在相同条件下，大量重复进行同一试验时，试验次数越多，频率的值越接近概率值． [训练4]　某射击运动员为奥运会做准备，在相同条件下进行射击训练，结果如下： 射击次数(n) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(m) 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率() 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91 (1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？ (2)假设该射击运动员射