7.4 事件的独立性（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§4　事件的独立性 课程内容标准 学科素养凝练 1.结合有限样本空间及古典概型，了解事件相互独立的含义． 2．会利用相互独立事件的概率公式计算随机事件的概率． 通过事件的相互独立性的学习及相互独立事件的概率公式的应用，增强数学抽象、数学运算的核心素养． (1)定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件． (2)计算公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B)． (3)性质：如果事件A与事件B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)必然事件Ω与任意事件都不独立．(　×　) (2)不可能事件∅与必然事件Ω独立．(　√　) (3)对于任意事件A，B，都有P(AB)＝P(A)P(B)．(　×　) (4)对于事件A与其对立事件，有P(A)P()＝P(A).(　×　) (5)如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B).(　√　) 2．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(EF)的值等于(　　) A．0　　 B．　　　 C．　　　 D． B　[因为事件E与F相互独立，P(E)＝P(F)＝，所以P(EF)＝P(E)P(F)＝.] 3．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为__0.56__． 4．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a, 第二道工序的次品率为b, 则该产品的正品率为________________． (1－a)(1－b)　[因为两道工序独立，且两道工序的次品率分别为a和b，故其正品率分别为(1－a)和(1－b)，所以该产品的正品率为(1－a)(1－b).] [知能解读]　互斥事件与相互独立事件的区别 一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的 (列表比较)： 互斥事件 相互独立事件 定义 不可能同时发生的两个事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响 概率公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B) P(AB)＝P(A)P(B) 判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)已知甲组有3名男生，2名女生；乙组有2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． 解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为.若前一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件． [方法总结]　两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，那么事件A，B为相互独立事件． [训练1]　从52张扑克牌(不含大小王)中任抽1张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J”．请问下列每对事件是否相互独立？为什么？ (1)A与B；(2)C与A. 解　(1)P(A)＝＝，P(B)＝＝， 事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立． (2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件． 甲、乙、丙三名大学生同时应聘某个用人单位的职位，三人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响． (1)求三人同时被选中的概率． (2)求三人中至少有一人被选中的概率． 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：求三人同时被选中的概率和三人中至少有一人被选中的概率． 第二步，精读题目挖已知条件：三人能否被选中互不影响，说明这是相互独立事件． 第三步，建立联系寻解题思路：(1)利用相互独立事件概率公式求解；(2)“三人中至少有一人被选中”可分为三个互斥事件的并事件． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　设甲、乙、丙能被选中的事件分别