5.2 实际问题中的函数模型（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§2　实际问题中的函数模型 2．1　实际问题的函数刻画 2．2　用函数模型解决实际问题 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具． 2．会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 通过对函数模型的应用的学习，提升数学建模、数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 在医学研究做临床“基础代谢率”测定可知，当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，下表给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么？ 环境温度/℃ 4 10 20 30 38 代谢率/(4 185 J·h－1·m－2) 60 44 40 40.5 54 解　 在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度；另一个是人体的代谢率．不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系．实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在平面直角坐标系中表示出来．在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来(如下图). 根据图象，可以看出下列性质： (1)代谢率曲线在小于20 ℃的范围内是下降的，在大于30 ℃的范围内是上升的． (2)环境温度在20 ℃～30 ℃时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大． (3)环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响．所以临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在20 ℃～30 ℃ 之间，这样可以使环境温度的影响最小． [方法总结]　在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确定由{4，10，20，30，38}到{60，44，40，40.5，54}的一个函数，通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们得到了一个新的函数，定义域扩大到了区间[4，38].对于实际的环境温度与人体代谢率的关系来说，这是一个近似的函数关系，它的函数图象，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢率的关系． [训练1]　某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200 000 元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x与总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？ 解　 总成本C与产量x的关系为C＝200 000＋300x； 单位成本P与产量x的关系为P＝＋300； 销售收入R与产量x的关系为R＝500x； 利润L与产量x的关系为L＝R－C＝200x－200 000. 以上各式建立的是函数关系． (1)从利润关系式可见，希望有较大利润，应增加产量．若x＜1 000，则要亏损；若x＝1 000，则利润为零；若x＞1 000，则可盈利．这也可以从下图看出，R和C的图象是两条直线，在它们的交点处利润为零． (2)从单位成本与产量的关系P＝＋300可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益． 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s(km)与匀速行驶的时间t(h)之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程． 解　因为火车匀速行驶的时间为 (277－13)÷120 ＝(h)，所以0≤t≤. 因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车运行总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是s＝13＋120t(0≤t≤)，2 h内火车行驶的路程s＝13＋120×(2－)＝233(km)． [方法总结]　在实际问题中，有很多问题的两个变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质 [训练2]　某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为 P＝ 设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N＋)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天． 解　设日销售金额为y(元)，则y＝PQ. 所以y＝ ①当0<t<25且t∈N＋时，y＝－(t－10)2＋900，所以当t＝10时，ymax＝900. ②当25≤t≤30且t∈N＋时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1 125. 结合①②得，当0＜t≤30且t∈N＋时，ymax＝1 125. 因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大． 探究三　自建确定性函数模型解实际问题 某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200 m2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座