4.2.2 换底公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

2．2　换底公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解对数的换底公式，能应用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题． 2．体会转化思想在对数运算中的作用． 通过对对数换底公式的学习，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 一般地，若a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1，则logab＝． 特别地： logab·logba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1)； loganbm＝logab(a＞0，a≠1，b＞0). 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)logab＝＝.(　√　) (2)log52＝.(　×　) (3)logab·logbc＝logac.(　√　) 2．下列等式不成立的是(　　) A．log34＝　　　　　　　 B．log34＝ C．log34＝　　　　　　　 D．log34＝ D　[结合换底公式的特征可知选项D不正确，因为底数必须满足大于0且不等于1的条件．] 3．计算：log25·log32·log59＝________． 2　 [原式＝··＝··＝2.] 4．已知logab·log3a＝4，则b＝________． 81　[由换底公式可得logab·log3a＝·＝log3b＝4，∴b＝34＝81.] [知能解读]　 1．利用换底公式化简、求值时应注意的问题 (1)针对具体问题，选择恰当的底数． (2)可将换底公式与对数运算法则结合使用． (3)换底公式的正用与逆用． (4)恰当应用换底公式的两个常用结论． 2．利用换底公式计算、化简、求值的思路 计算：(1)log225·log3·log5； (2)(log43＋log83)(log32＋log92)－log. 解　(1)方法一　原式＝2log25·(－4log32)·(－2log53)＝16log25··＝16. 方法二　原式＝··＝··＝16. (2)原式 ＝(＋)(log32＋)－ ＝(log23＋log23)(log32＋log32)＋log232 ＝log23×log32＋＝×＋＝＋＝. [方法总结]　换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． [训练]　计算： (1)(log43－log83)(log32－log92)； (2)(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)． 解　(1)原式＝(－)(－) ＝(－)(－)＝×＝. (2)方法一　原式 ＝(log253＋＋)·(log52＋＋) ＝(3log25＋＋)(log52＋＋) ＝(3＋1＋)log25·(3log52) ＝13log25·＝13. 方法二　原式 ＝(＋＋)(＋＋) ＝(＋＋)(＋＋) ＝()(3)＝13. 已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645. 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：试用a，b表示log3645. 第二步，精读题目挖已知条件：log189＝a，18b＝5. 第三步，建立联系寻解题思路：理顺条件和结论间的关系，以期找到解题关键．换底公式是解题的重要手段． 第四步，书写过程养规范习惯． 解　方法一　∵18b＝5，∴log185＝b. ∵log189＝a，log185＝b， ∴log3645＝＝ ＝＝＝. 方法二　∵18b＝5，∴log185＝b. ∵log189＝a，log185＝b， ∴log3645＝＝＝． 方法三　∵log189＝a，18b＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18. ∴log3645＝＝＝ ＝＝. [变式1]　若将本例的条件“18b＝5”改为“5b＝18”，试用a，b表示log3645. 解　∵5b＝18，∴log518＝b.∴log185＝. ∴log3645＝＝＝ ＝＝. [变式2]　若本例改为：已知log3645＝a，18b＝5，求log189的值． 解　由18b＝5得log185＝b，∴log3645＝＝＝＝a. 解得log189＝. [变式3]　若本例改为：9a＝5b＝，求＋的值． 解　∵9a＝5b＝，两边取常用对数，得a lg 9＝b lg 5＝lg 45， ∴a＝，b＝. ∴＋＝＋＝＝＝3. [方法总结]　解带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底数的对数，以便利用对数的运算法则计算．注意要整体把握代数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化进行解题． 1.＝(　　) A．　　　　　　　 B．2　　　　 C．　　　　D． B　[原式＝log39＝log332＝2log33＝2.] 2．若lg 3＝a，lg 5＝b，则l