2.1 生活中的变量关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§1　生活中的变量关系 课程内容标准 学科素养凝练 1.在实际问题中找出变量之间的对应关系，深刻理解函数的概念． 2．理解分段函数的概念，能够写出分段函数的解析式，画出其图象． 　　通过在实际问题中找出变量之间对应关系，达成数学抽象的核心素养． 1．两个变量之间的关系 (1)依赖关系：一个变量的变化引起与之相关的另一个变量的变化． (2)函数关系：对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应． 2．分段函数 若函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)正方形的面积与边长的关系是函数关系．(　√　) (2)某十字路口，通过行人的数量与时间的关系是依赖关系.(　√　) (3)乘出租车时，车费与行驶里程的关系是函数关系．(　√　) 2．张大爷种植了10块同样大小的小麦试验田，每块试验田施肥x kg，小麦总产量为y kg，则(　A　) A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 3．俗语“名师出高徒”说明(　A　) A．名师与高徒之间具有依赖关系 B．名师与高徒之间具有函数关系 C．名师是高徒的函数 D．高徒是名师的函数 4．(多空题)“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，________随________变化而变化，其中自变量是________，因变量是________． 气温　时间　时间　气温　[“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间变化而变化，其中自变量是时间，因变量是气温．] 5．正方形的边长是2 cm，设它的边长增加x cm时，正方形的面积增加y cm2，求y与x之间的函数关系式． 解　由题意得y＝(x＋2)2－22＝x2＋4x，所以y与x之间的函数关系式为y＝x2＋4x. [知能解读]　对依赖关系与函数关系的两点说明 (1)定性方法：在某变化过程中有两个变量． ①若其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，则称这两个变量具有依赖关系． ②若对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，则称这两个变量具有函数关系． (2)两者关系：函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此依赖关系不一定是函数关系，而函数关系一定是依赖关系． 特别提醒：依赖关系和函数关系不是生活中仅存的两种关系． (多选题)下列两个变量之间是函数关系的为(　　) A．圆的面积与其半径之间的关系 B．家庭收入与消费支出之间的关系 C．人的身高与视力之间的关系 D．价格不变的情况下，商品销售额和销售量之间的关系 AD　[选项A，圆的面积椭圆的半径的变化而变化，所以圆的面积与其半径之间存在依赖关系．又因为对每一个半径的值，都有唯一的圆的面积与之对应，所以圆的面积是半径的函数．选项B，消费支出随家庭收入的变化而变化，消费支出与家庭收入之间存在依赖关系，但消费支出还要受到其他因素的影响，两者之间不是函数关系．选项C，人的身高与视力之间不存在依赖关系，因而不是函数关系．选项D，价格不变的情况下，商品销售额随销售量的变化而变化，两者存在依赖关系，且商品销售额是销售量的函数．] [方法总结]　可以按照以下两个步骤判断两个具有依赖关系的变量是否有函数关系 (1)确定自变量和因变量； (2)判断对于自变量的每一个值，因变量是否有唯一确定的值与之对应．若满足，则是函数关系；否则，不是函数关系． [训练1]　下列各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ (1)人的身高与体重的关系； (2)一枚炮弹发射后，飞行距离与时间的关系； (3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系． 解　(1)人的身高与体重之间具有依赖关系，但不具有函数关系．人的身高越高，其体重不一定越重． (2)炮弹的飞行距离与时间具有依赖关系，也是函数关系．因为对于任一给定的时间的值，都有炮弹的唯一的飞行距离与之对应． (3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系． 为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一名同学通过实验测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据： 次序 项目　　　 1 2 3 4 5 6 7 8 温度/℃ 15 25 30 35 37 40 45 50 黏附力/N 2 3.1 3.3 3.6 4.6 4 2.5 1.4 (1)请根据上述数据，绘制出口香糖