4.2.2 换底公式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．log52·log425＝(　　) A．－1　　　　　　　 B．　　　　 C．1　　　　 D．2 C　[log52·log425＝·＝·＝1.] 2．化简：－loga＝(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2logab　　　　　　　 D．－2logab A　[－loga＝－＝－＋＝0.] 3．若log5·log36·log6x＝2，则x＝(　　) A．9　　　　　　　 B． C．25　　　　　　　 D． D　 [原式＝··＝＝2， ∴－lg x＝2lg 5＝lg 52＝lg 25.∴x＝.] 4．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3等于(　　) A．　　　　　　　 B． C．　　　　　　　 D． C　[∵log89＝a，log25＝b， ∴a＝＝，b＝＝. ∴lg 2＝. ∴lg 3＝a lg 2＝×＝.] 5．计算：log2·log3·log5＝________． －12　[原式＝·· ＝＝－12.] 6．若mlog35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为________. 　[∵mlog35＝1，∴m＝＝log53.∴n＝5m＋5－m＝＝3＋＝.] 7．(1)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456. (2)设3a＝5b＝，求＋的值． 解　(1)由已知得log32＝，log37＝b，log1456＝＝＝＝＝． (2)∵3a＝5b＝，两边取常用对数，得a lg 3＝b lg 5＝lg 15，∴a＝，b＝. ∴＋＝＋＝＝＝2. 8．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py. (1)求p的值． (2)求证：－＝. (1)解　设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. 由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·. ∵log3k≠0，∴p＝2log34. (2)证明　－＝－＝logk6－logk3＝logk2， 又＝logk4＝logk2，∴－＝. 9．已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是(　　) A．7　　　　　　　 B．7 C．±7　　　　　　　 D．98 B　[因为2x＝72y＝A，所以x＝log2A，2y＝log7A.故＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA(2×72)＝logA98＝2.所以A2＝98.又A>0，所以A＝7.] 10．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log1245＝______________． 　[log1245＝＝＝＝＝.] 11．(多空题)若实数a＞b＞1，且logab＋logba＝，则logab＝________，＝________． 　1　[logab＋logba＝⇒logab＋＝⇒logab＝2或.因为a＞b＞1，所以logab＜1.所以logab＝.所以b＝a，b2＝a.所以＝1.] 12．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实数根，求lg (ab)(logab＋logba)的值． 解　原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0. 依题意知，lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝， ∴lg (ab)(logab＋logba) ＝(lg a＋lg b)(＋) ＝(lg a＋lg b)· ＝＝12. 13．证明：＝1＋logab(a>0，且a≠1，b>0，且ab≠1)． 证明　左边＝＝logaab＝logaa＋logab＝1＋logab＝右边，所以原等式成立． 14．甲、乙两人解关于x的方程(log2x)2＋blog2x＋c＝0.甲写错了系数b，得到方程的根为，；乙写错了常数c，得到方程的根为，64.求方程的真正根． 解　原方程为(log2x)2＋blog2x＋c＝0， ∵甲写错了系数b，得到方程的根为，， ∴c＝log2×log2＝－2×(－3)＝6. 又∵乙写错了系数c，得到方程的根为，64， ∴b＝－(log2＋log264)＝－5. ∴原方程为(log2x)2－5log2x＋6＝0， 即(log2x－2)(log2x－3)＝0. ∴log2x＝2或log2x＝3. ∴x＝4或x＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $$