1.3.2 第1课时 基本不等式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．已知m＝a＋＋1(a>0)，n∈{n|0<n＜3}，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n　　　　　　　 B．m<n C．m＝n　　　　　　　 D．m≤n A　[因为a>0，所以m＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．所以m>n.] 2．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 D　[当a<0时，a＋≥4不成立，故选项A错误；当a＝1，b＝1时，a2＋b2<4ab，故选项B错误；当a＝4，b＝16时，<，故选项C错误；由基本不等式可知选项D正确．] 3．(多选题)下列条件中能使＋≥2成立的有(　　) A．ab>0　　　　　　　 B．ab<0 C．a>0，b>0　　　　　　　 D．a<0，b<0 ACD　[当，均为正数时，＋≥2， ∴只需a，b同号即可．∴选项A，C，D均可以．] 4．王叔叔从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v<　　　　　　　 B．v＝ C．<v<　　　　　　　 D．v＝ A　[设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b， ∴v＝＝＝<＝. 又v－a＝－a＝>＝0， ∴v>a.] 5．(多选题)设a＞0，b＞0，下列不等式成立的是(　　) A．a2＋1＞a B．(a＋)(b＋)≥4 C．(a＋b)(＋)≥4 D．a2＋9＞6a ABC　[由于a2＋1－a＝(a－)2＋＞0，所以选项A恒成立．(a＋)(b＋)＝ab＋＋＋≥2＋2＝4，当且仅当即a＝b＝1时，等号成立，故选项B恒成立．(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝1时等号成立，故选项C恒成立．当a＝3时，a2＋9＝6a，故选项D不恒成立．综上，恒成立的是选项A，B，C.] 6．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　) A．x＝　　　　　　　 B．x≤ C．x＞　　　　　　　 D．x≥ B　[∵这两年的平均增长率为x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b). ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b). 由题设可知a＞0，b＞0. ∴1＋x＝≤ ＝1＋. ∴x≤，当且仅当1＋a＝1＋b即a＝b时等号成立．] 7．已知a＞b＞c，则 与的大小关系是________________． ≤　[∵a＞b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0. ∴＝≥， 当且仅当a－b＝b－c即a＋c＝2b时，等号成立．] 8．已知a，b，x，y∈R，且a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1. 证明　因为a2＋x2≥2ax，b2＋y2≥2by， 所以a2＋x2＋b2＋y2≥2ax＋2by. 又因为a2＋b2＝1，x2＋y2＝1， 所以2ax＋2by≤2.所以ax＋by≤1. 9．设x＞0，求证：x＋≥. 证明　因为x＞0，所以x＋＞0. 所以x＋＝x＋ ＝x＋＋－ ≥2－＝， 当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立． 10．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1. 求证：＋＋<＋＋. 证明　∵＋≥2＝2， ＋≥2 ＝2，＋≥2 ＝2， ∴2(＋＋)≥2(＋＋)， 即＋＋≥＋＋. ∵a，b，c为不等正实数，∴＋＋<＋＋. 11．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的是(　　) A．＋<1　　　　　　　 B．＋≥1 C．＋<2　　　　　　　 D．＋≥2 B　 [因为ab≤()2≤22＝4， 所以＋≥2≥2＝1，当且仅当a＝b＝2时等号成立．] 12．(多选题)设a，b为非零实数，下列不等式成立的是(　　) A．≥ab　　　　　　　 B．≥()2 C．≥ D．＋≥2 AB　[由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知选项A正确；＝＝≥＝＝()2，可知选项B正确；当a＝b＝－1时，＝－1，＝－，可知选项C不正确；当a＝1，b＝－1时，可知选项D不正确．] 13．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________________． [9，＋∞)　[∵a＞0，b＞0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3， 即ab－2－3≥0.解得≥3或≤－1(舍去)，即ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立．] 14．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 证明　＋＋＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝(＋)＋(＋)＋(＋)－3. ∵a，b，c为正数， ∴＋≥2(当且仅当a＝b时等号成立)， ＋≥2(当且仅当a＝c时等号成立)， ＋≥2(当且仅当b＝c时等号成立). ∴(＋)＋(＋)＋(＋)≥6(当且仅当a＝b＝c时等号成立). ∴(＋)＋(＋)＋(＋)－3≥3， 即＋＋≥3. 15．若0＜x＜1，a＞0，b＞0．求证：＋≥(a＋b)2. 证明　＋＝(x＋1－x)(＋) ＝a2＋b2＋b2＋a2