4.2.1 第2课时 等差数列的性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第四章 数 列 4．2　等差数列 4．2．1　等差数列的概念 第2课时　等差数列的性质 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 (n－m)d ap＋aq 2ap 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 答案：C 一、等差数列通项公式的变形与推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)； (2)an＝am＋____________(m，n∈N*)； (3)d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)． [提醒] 上面(1)的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)可以用来利用任一项及公差直接求得通项公式，不必求a1；(3)即斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)，可用来由等差数列任两项求公差． 二、等差数列的性质 1．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝__________． 2．特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝________． [拓展延伸] (1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az； (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同； (3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…. 三、由等差数列衍生的新等差数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 【基础自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(　　) (2)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．(　　) (3)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列．(　　) (4)若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝(　　 ) A．－1 B．2 C．4 D．6 解析：由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2. 答案：B 3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　 ) A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51 解析：∵a1＋a2＋…＋a101＝0， 又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0. 答案：C 4．在等差数列{an}(n∈N*)中，若a1＝a2＋a4，a8＝－3，则a20的值是________． 解析：∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4，又a1＝a2＋a4，∴a5＝0，∴d＝eq \f(a8－a5,8－5)＝eq \f(－3,3)＝－1，故a20＝a5＋15d＝－15. 答案：－15 题型一 由等差数列构造新等差数列 【例1】 有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　　 ) A．15 B．16 C．17 D．18 解析：易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤eq \f(50,3)，而n∈N*，所以n的最大值为16. 答案：B [总结]　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：an－an－1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数． 【跟踪训练】 1.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________． 解析：由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以