章末总结(四) 数列-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第四章 数 列 章末总结(四)　数列 知识体系构建 ·关键理清 高频考点聚焦·整合提升 考点一 等差、等比数列的判定 判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列． 【例1】 (2022·安徽黄山一模)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2． (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2＝6． ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3． 又 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Sn＋1＝4an＋2，　　　　①,Sn＝4an－1＋2（n≥2），　②)) ①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴ eq \f(an＋1,2n＋1) － eq \f(an,2n) ＝ eq \f(3,4) ， 故 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n))) 是首项为 eq \f(1,2) ，公差为 eq \f(3,4) 的等差数列． ∴ eq \f(an,2n) ＝ eq \f(1,2) ＋(n－1)· eq \f(3,4) ＝ eq \f(3n－1,4) ， 故an＝(3n－1)·2n－2． [总结]　判断和证明数列是等差(比)数列的方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(an＋1,an))) 为与正整数n无关的常数． (2)中项公式法： ①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列． ②若a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)) ＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2且an≠0)，则{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是公比不为1的等比数列． 【跟踪训练】 1．已知数列{an}满足a1＝ eq \f(1,5) ，且当n>1，n∈N*时，有 eq \f(an－1,an) ＝ eq \f(2an－1＋1,1－2an) ． (1)求证：数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) 为等差数列； (2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． 解：(1)证明：当n≥2时， 由 eq \f(an－1,an) ＝ eq \f(2an－1＋1,1－2an) ，得an－1－an＝4an－1an， 两边同除以an－1an， 得 eq \f(1,an) － eq \f(1,an－1) ＝4． 所以数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) 是首项 eq \f(1,a1) ＝5，公差d＝4的等差数列． (2)由(1)得 eq \f(1,an) ＝ eq \f(1,a1) ＋(n－1)d＝4n＋1， 所以an＝ eq \f(1,4n＋1) ， 所以a1a2＝ eq \f(1,5) × eq \f(1,9) ＝ eq \f(1,45) ， 假设a1a2是数列{an}中的第t项， 则at＝ eq \f(1,4t＋1) ＝ eq \f(1,45) ， 解得t＝11∈N*， 所以a1a2是数列{an}中的第11项． 考点二 等差与等比数列的基本运算 数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小． 【例2】 在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn． 解：(1)设数列{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3，解得q＝2， 所以an＝2×2n－1＝2n，n∈N*． (2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32． 设数列{b