微专题(一) 等差数列的性质的综合问题-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第四章 数 列 微专题(一)　等差数列的性质的综合问题 答案：D eq \a\vs4\al(题型一　等差数列的实际应用) 【例1】 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37．5尺(1 m＝3尺)，芒种的日影子长为4．5尺，则立夏的日影子长为(　　 ) A．15．5尺 B．12．5尺 C．9．5尺 D．6．5尺 解析：设该等差数列为{an}，冬至、小寒、大寒、…芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得， a1＋a4＋a7＝37．5，即a4＝12．5，又a12＝4．5，所以d＝eq \f(a12－a4,12－4)＝－1． 所以立夏的日影子长为a10＝a4＋6d＝12．5－6＝6．5(尺)． [总结]　解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 (1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中． (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题． 【跟踪训练】 1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，乙所得为________钱． 解析：由题意，设这五人所得钱分别为a＋2d，a＋d，a，a－d，a－2d， 则a＋2d＋a＋d＝a＋a－d＋a－2d，且5a＝5，所以a＝1，d＝eq \f(1,6)， 所以乙所得为a＋d＝eq \f(7,6)(钱)． 答案：eq \f(7,6) 2．假设某市2022年新建住房400万平方米，预计在此后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米． 解析：设n年后该市新建住房的面积为an万平方米．由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n．令400＋50n>820，解得n>eq \f(42,5)．由于n∈N*，则n≥9．所以该市在2031年新建住房的面积开始大于820万平方米． 答案：2031 eq \a\vs4\al(题型二　等差数列中项的设法) 【例2】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列． 解：设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－3d）2＋（a－d）2＋（a＋d）2＋（a＋3d）2＝94，,（a－3d）（a＋3d）＋18＝（a－d）（a＋d），)) 又因为是递增数列，所以d>0， 所以解得a＝±eq \f(7,2)，d＝eq \f(3,2)， 此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1． [总结]　等差数列的设项方法和技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式． (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d．若有5项、7项、…时，可同理设出． (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d．若有6项、8项、…时，可同理设出． 【跟踪训练】 3．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为eq \f(85,9)，求这5个数． 解：设第三个数为a，公差为d， 则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d． 由已知有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－2d）＋（a－d）＋a＋（a＋d）＋（a＋2d）＝5，,（a－2d）2＋（a－d）2＋a2＋（a＋d）2＋（a＋2d）2＝\f(85,9)，)) 整理得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a＝5，,5a2＋10d2＝\f(85,9).)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,d＝±\f(2,3).)) 当d＝eq \f(2,3)时，这5个数分别是－eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，1，eq \f(5,3)，eq \f(7,