微专题(二) 数列中的构造问题-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第四章 数 列 微专题(二)　数列中的构造问题 【例1】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式． 解：∵an＋1＝2an＋1，an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，∴t＝1， 即an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1． 题型一 形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式 [总结]　形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步：由待定系数法，解得t＝ eq \f(q,p－1) ； 第三步：写出数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1))) 的通项公式； 第四步：写出数列{an}的通项公式． 【跟踪训练】 1．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4．证明数列{an＋4}是等比数列，并求数列{an}的通项公式． 解：∵a1＝－2，∴a1＋4＝2． ∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)， ∴ eq \f(an＋1＋4,an＋4) ＝2， ∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋4＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－4． 题型二 形如an＋1＝ eq \f(ran,pan＋q) (r，p，q为常数，r>0，p，q，an≠0)的递推关系求通项公式 【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ eq \f(2an,an＋2) ，则a5的值为________． 解析：由递推关系及a1＝1可得an≠0，anan＋1＋2an＋1＝2an，即anan＋1＝2an－2an＋1，据此有 eq \f(1,an＋1) － eq \f(1,an) ＝ eq \f(1,2) ，又 eq \f(1,a1) ＝1，故数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) 是首项为1，公差为 eq \f(1,2) 的等差数列，则 eq \f(1,a5) ＝1＋ eq \f(1,2) ×(5－1)＝3，故a5＝ eq \f(1,3) ． 答案： eq \f(1,3) [总结]　an＋1＝ eq \f(ran,pan＋q) (r，p，q为常数，r>0，p，q，an≠0)的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式bn＝Abn－1＋B(n≥2，A，B是常数)，进而求解． 【跟踪训练】 2．在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝ eq \f(bn,3bn＋2) ，n∈N*，则通项公式bn＝________． 解析：递推式bn＋1＝ eq \f(bn,3bn＋2) 的两边同时取倒数， 得 eq \f(1,bn＋1) ＝ eq \f(3bn＋2,bn) ，即 eq \f(1,bn＋1) ＝2· eq \f(1,bn) ＋3， 因此 eq \f(1,bn＋1) ＋3＝2· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)＋3)) ， eq \f(1,b1) ＋3＝2， 故 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)＋3)) 是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是 eq \f(1,bn) ＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝ eq \f(1,2n－3) (n∈N*)． 答案： eq \f(1,2n－3) (n∈N*) 题型三 形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式 【例3】 (1)已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 解：因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，得 eq \f(an,2n) ＝ eq \f(an－1,2n－1) ＋1，即 eq \f(an,2n) － eq \f(an－1,2n－1) ＝1，所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n))) 是以 eq \f(1,2) 为首项，以1为公差的等差数列，即 eq \f(an,2n) ＝ eq \f(1,2) ＋(n－1)×1，所以an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2))) ×2n． (2)已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1, 且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 解：等式两边同时除以2n，得 eq \f(an,2n) ＝ eq \f(an－1,2n－1) ＋2，即 eq \f(an,2n) － eq \f(an－1,2n