4.4 数学归纳法-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第四章 数 列 4．4*　数学归纳法 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 n＝k n＝k＋1 n0 答案：D 答案：A 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 答案：D 课程标准 核心素养 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 1．数学抽象：了解数学归纳法的原理． 2．逻辑推理：能用数学归纳法证明中项等式、不等式及整除的一些简单命题． 数学归纳法的理解 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当______(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当__________时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从_____开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． [提醒] 初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择． 【基础自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　) (2)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设．(　　) (3)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项．(　　) (4)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ eq \f(（n＋3）（n＋4）,2) (n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是1＋2＋3＋4．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在数列{an}中，an＝1－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) － eq \f(1,4) ＋…＋ eq \f(1,2n－1) － eq \f(1,2n) ，则ak＋1等于(　　 ) A．ak＋ eq \f(1,2k＋1) B．ak＋ eq \f(1,2k＋2) － eq \f(1,2k＋4) C．ak＋ eq \f(1,2k＋2) D．ak＋ eq \f(1,2k＋1) － eq \f(1,2k＋2) 解析：a1＝1－ eq \f(1,2) ，a2＝1－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) － eq \f(1,4) ，…，an＝1－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) － eq \f(1,4) ＋…＋ eq \f(1,2n－1) － eq \f(1,2n) ， ak＝1－ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) － eq \f(1,4) ＋…＋ eq \f(1,2k－1) － eq \f(1,2k) ，所以ak＋1＝ak＋ eq \f(1,2k＋1) － eq \f(1,2k＋2) ． 3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　 ) A．当n＝4时命题不成立 B．当n＝6时命题不成立 C．当n＝4时命题成立 D．当n＝6时命题成立 解析：因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立． 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________________________________． 解析：当n＝k＋1时， 表达式左侧为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)， 表达式右侧为(k＋1)(k＋2)2， 则当n＝k＋1时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2． 答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 题型一 数学归纳法的理解 【例1】 (1)用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于___________． 解析：由题意，得当n＝1时，21<(1＋1)2；当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；当n＝6时，26>(6＋1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于6． 答案：6 (2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2