4.3.1 第2课时 等比数列的性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第四章 数 列 4．3　等比数列 4．3．1　等比数列的概念 第2课时　等比数列的性质 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 qn－1 qn－m qn ak·al＝am·an am，ap，an pq 答案：C 答案：C 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 答案：D 答案：D 答案：A 答案：B 课程标准 核心素养 1．能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 1．逻辑推理：理解等比数列的通项公式推广形式及变形 2．数学运算：能利用等比数列相关性质简化计算． 一、等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1·_________① ＝am·_________② ＝ eq \f(a1,q) ·_________ ③ 其中，当②中m＝1时，即化为①．当③中q>0且q≠1时，y＝ eq \f(a1,q) ·qx为指数函数． 二、等比数列常见性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________． (2)若m，p，n成等差数列，则_____________成等比数列． [拓展延伸] (1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz； (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同； (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝…． 三、由等比数列衍生的新等比数列 1．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． 2．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) ，{a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)) }都是等比数列，且公比分别是q， eq \f(1,q) ，q2． 3．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn))) 也都是等比数列，公比分别为____和 eq \f(p,q) ． [提醒] 在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列． 【基础自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项．(　　) (2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am·an＝ap．(　　) (3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(　　) (4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　 ) A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 解析：当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列． 3．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是(　　 ) A． eq \f(3,2) B． eq \r(2) C．2 D．2 eq \r(2) 解析：奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则 eq \f(a2a4a6a8a10,a1a3a5a7a9) ＝q5＝32，则q＝2． 4．在等比数列{an}中，已知a3＝1，a5＝4，a12＝8，则a10＝________． 解析：由a3a12＝a5a10得1×8＝4a10，解得a10＝2． 答案：2 题型一 由等比数列构造新等比数列 【例1】 如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是(　　 ) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\r(3,an))) C．{an·an＋1} D．{an＋an＋1} 解析：取等比数列an＝(－