4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第四章 数 列 4．3　等比数列 4．3．1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 2 前 比 同一个 公比 等比中项 G2＝ab 答案：AB 答案：C 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 答案：A 答案：D 答案：D 答案：A 答案：B 课程标准 核心素养 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．体会等比数列与指数函数的关系． 1．数学抽象：理解等比数列的概念，掌握等比中项的概念． 2．逻辑推理：会判定与证明数列为等比数列． 3．数学运算：会利用公式求等比数列的通项公式． 一、等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的__一项的__都等于______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的____，通常用字母q表示(q≠0)． [提醒] (1)定义的符号表示：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*)； (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项； (3)比必须是同一个常数； (4)等比数列中任意一项都不能为0； (5)公比可以为正数、负数，但不能为0． 二、等比中项 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的________，此时，_____________． [提醒] (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列； (2)只有同号的两个实数才有等比中项； (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 三、等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝___________(n∈N*)． [拓展延伸] 等比数列的通项公式与函数的关系 1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝eq \f(a1,q)·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a． 3．等比数列的单调性 (1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列； (2)a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列； (3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列； (4)a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列； (5)q＝1时，数列{an}为常数列； (6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 【基础自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)等比数列中的项不能为0．(　　) (2)等比数列的公比的取值范围是R． (　　) (3)若一个常数列是等比数列，则公比为1．(　　) (4)22，42，62，82，…成等比数列．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于(　　 ) A．6 B．－6 C．－12 D．12 解析：∵a＝eq \f(1＋2,2)＝eq \f(3,2)，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，∴ab＝±6． 3．在数列{an}中，如果an＝32－n(n＝1，2，3，…)，那么这个数列是(　　 ) A．公比为2的等比数列 B．公差为3的等差数列 C．首项为3的等比数列 D．首项为3的等差数列 解析：因为an＝32－n(n＝1，2，3，…)，所以a1＝3，a2＝1，an－1＝33－n(n≥2)，则有eq \f(an,an－1)＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(1,3)(n≥2)，所以{an}为等比数列，且公比q＝eq \f(1,3)，首项a1＝3． 4．4与16的等比中项是________． 解析：由G2＝4×16＝64，得G＝±8． 答案：±8 eq \a\vs4\al(题型一　等比数列的概念) 【例1】 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (1)1，eq \f(1,3)，eq \f(1,6)，eq \f(1,9)，eq \f(1,12)，…； (2)10，10，10，10，10，…； (3)eq \f(2,3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al