广东省广州市第五中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

广州市第五中学高二年级2023学年第一学期第一次段考 数学科试题 一､选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求.请用2B铅笔填涂答案在答卷相应位置上） 1. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，其中，则（ ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架､上下水平纵向联结系､桥门架和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中AB=BH，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（ ） A. B. 3 C. D. 7. 已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9 已知圆：，则（ ） A. 点在圆的内部 B. 圆的直径为 C. 点在圆的外部 D. 直线与圆相离 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为钝角 D. 在方向上的投影向量为 11. 若直线l：与圆C：相切，则直线l与圆D：的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 12. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱、分别交于点、，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 线段长度的取值范围是 C. 当点与点重合时，四棱锥的体积为 D. 设截面、、的面积分别为、、，则的最小值为 三、填空题（本大题共4题，共20分，请用黑色钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应位置上） 13. 已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数_____. 14. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点在轴上，且，则M的坐标是_____________. 15. 如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，E､F分别在､AC上，且，则直线EF与直线的距离为___________. 16. 已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________. 四､解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17. 已知，求： （1）的值； （2）与夹角的余弦值． 18. 已知圆，直线． （1）写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系； （2）设直线与圆交于A、两点，若直线的倾斜角为120°，求弦的长． 19. 如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，， （1）求证： （2）求到平面距离. 20. ①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解． 已知圆经过点，且________． （1）求圆的标准方程； （2）已知点，求过点的圆的切线方程． 21. VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点. （1）求成功点的轨迹方程； （2）为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围. 22. 在梯形中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）.将沿AC折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得CQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 广州市第五中学高二年级20