3.3幂函数课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3幂函数 (1)如果张红购买了单价为1元/kg的某种蔬菜w kg,那么她需要支付的钱数p=_ ,这里p是w的函数。 (2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=_,这里S是a的函数。 (3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=_,这里V是b的函数。 b3 W (4)如果一正方形场地面积为S,那么这个正方形的边长c=_,这里c是S的函数。 (5)如果某人在t秒内骑车行进了1km,那么他骑车的速度v=_,这里v是t的函数 一、新课导入 二、探究新知 (1)p=w (2)S=a2 (3)V=b3 (4)c= (5)v= c= v=t -1 p=w1 观察这五个函数的解析式,从解析式的结构特征看,它们有什么共同特征? 二、探究新知 (1)p=w1; (2)S=a2 (3)V=b3 (4)c=; (5)v=t -1; 观察这五个函数的解析式,从解析式的结构特征看,它们有什么共同特征? (1)解析式具有幂的形式; (2)幂的底数为自变量,指数是常数。 y= 常数 自变量 二、探究新知 幂函数的概念: 一般地,函数y=x 叫做幂函数,其中x是自变量, 是常数 注意:幂函数的自变量系数是1,并且项数只有一项 下列哪些是幂函数? (1)y= (2)y=3 (3)y= (4)y= (5)y=1 (6)y=+2x 结合以往学习函数的经验,该如何来研究一类函数的性质呢? 函数的解析式 定义域 函数图像 值域,单调性,奇偶性 三.探究幂函数的图像和性质 对于幂函数y=x ,我们只研究 =1,2,3,,-1时的图像和性质。 三.探究幂函数的图像和性质 合作探究:在同一直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=,y=,y=,y=的图像 幂函数的图象 -3.38 -1.5 0 0 1 1 -1 -1 … … … … 3.38 1.5 0 0 1 1 2 1.41 3 1.73 4 2 6 2.45 … … 1 1 2 -1 -1 -2 2 -2 … … … … y=x2 y=x3 y=x-1 y=x 1 2 3 -1 -2 1 2 3 4 -1 o 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y= x -1 y= x 1 2 y= x 3 y= x 2 y=x (4,2) (-2,4) (2,4) (-1,1) (-1,-1) (1,1) 解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 图象 定义域 R R R . . {x|x≠0} [0,+∞) 值域 R . R . . 奇偶性 函数 函数 函数 _ 函数 . 函数 单调性 在(-∞,+∞)上单调 . 在(-∞,0]上单调 , 在(0,+∞)上单调 . 在(-∞,+∞)上单调 . 在(0,+∞)上单调 . 在(-∞,0)上单调 ,在(0,+∞)上单调 . 定点 . [0,+∞) 奇 递增 偶 奇 非奇非偶 {y|y≠0} [0,+∞) 递减 递增 递增 奇 递增 递减 递减 (1,1) 观察图像和解析式,总结函数的性质,完成表格 思考:结合函数图像和表格,总结它们具有哪些共同性质? 有哪些不同的性质? 提示:(1)图像的分布区域,公共点 (2)函数的对称性 (3)函数的变化趋势 思考:结合函数图像和表格,总结它们具有哪些共同性质? 有哪些不同的性质? 函数图像都过第一象限和(1,1) 共性: 奇偶性不同: y=x,y=x3 ,y=x-1是奇函数 y=x2是偶函数 单调性不同: 在区间(0,+∞)上, y=x,y=x3 ,y=x2, y= 单调递增; y=x-1单调递减 在第一象限内,y=x-1的图像向 上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近 y=x-1特性 一般幂函数的性质 ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图像都经过(1,1) ②单调性方面:如果 >0,则幂函数在(0,+∞)上是增函数, 如果 <0,则幂函数在(0,+∞)上是减函数。 ③奇偶性方面:(1)当 为整数时 当 为奇数时,幂函数则为奇函数;当 为偶数时,幂函数则为偶函数 (2)当 =, 当p,q都是奇数时,幂函数则为奇函数; 当p为偶数,q为奇数时,幂函数则为偶函数; 当p为奇数,q为偶数时,幂函数则为非奇非偶函数。 例:证明幂函数f(x)= 是增函数 证明:定义域是[0,+∞), ∀x1,x2,且x1<x2,有 f(x1)-f(x2)=- = = 因为x1-x2<0, , 则f(x1)-f(x2)<0, 所以f(x1)<f(x2),即幂函数f(x)是增函数 四、巩固提升 练习:利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小 (1), (2), 解:(1)令f(x)=, ∵f(x)在R上单调递增,且-1.5<-1.4, ∴f(-1.5)<f(-1.4) 即 (2)令g(x)= ∵g(x)在(-∞,0