第7章 平行线的证明（压轴题专练）-2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第7章 平行线的证明（压轴题专练） 题型01：M型（含锯齿型） 1．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； (1)若∠E＝60°，则∠F＝ ； (2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由； (3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 2．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 3．如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点． (1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系； (3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小． 4．问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 题型02：笔尖型 5．如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 6．如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°． （1）求∠AEP的度数； （2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）； ②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝　 　． 7．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． （1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数． 8．已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且． （1）如图①，求证：． 阅读并将下列推理过程补齐完整： 过点B作，因为， 所以__________（      ） 所以，（     ） 所以． （2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分． 求证：； （3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由． 题型03：“鸡翅”型 9．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 10．已知，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数． 11．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 题型04：“骨折”型 12．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：