第7章 平行线的证明（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第7章 平行线的证明（知识归纳+题型突破） 1． 了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假； 2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用； 3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论. 一、定义、命题及证明 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点： （1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理. 3.证明: 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明. 要点： （1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论． （2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 二、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 三、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 要点： （1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论. （2）推论可以当做定理使用. 题型一 命题与证明 【例1】下列语句是命题的是（　  　） A．在线段上取点C B．作直线的垂线 C．垂线段最短吗？ D．相等的角是对顶角 巩固训练： 1．下列命题中，是真命题的是（    ） A．互补的两个角是邻补角 B．邻补角一定互为补角 C．两角相等，一定是对顶角 D．无理数都是开方不尽的数 2．下列结论推理合理的是（    ） A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等 B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题 C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好 D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多 3．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的周长相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 4．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 题型二 同位角、内错角与同旁内角 【例2】下列所示的四个图形中，和是同位角的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 巩固训练： 1．如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 2．如图，下列是内错角的一组为（    ）．    A．与 B．与 C．与 D．与 3．如图，以下说法正确的是（   ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 4．如图所示，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；的内错角是 ． AI 题型三 平行线的判定 【例3】如图，点E在延长线上，下列条件中不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 巩固训练： 1．下列说法错误的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 B．如果两条直线都与第