3.2.1函数的单调性学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1函数的单调性 【重点、难点】 重点：函数单调性的概念；学会运用图象法观察函数的单调性和用定义法证明一些函数的单调性． 难点：利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性 “任意”二字必要性的体现 1.函数的单调性的定义 单调性：设函数的定义域为，对于的某个子区间内的任意两个自变量， （1）如图1，若当时都有 ，则称在这个区间内单调递增； （2）如图2，若当时都有 ，则称在这个区间内单调递减. 思考： 1.设函数在某个区间内任意两个自变量都有 、、、分别说明什么？ 2.单调性是函数的局部性质, 函数的单调区间是定义域的子集, 即函数的增减性是相对于函数的定义域中的某个区间而言的,函数单调性定义中的相对于单调区间具有任意性.讨论函数的增减性应先确定单调区间. 3.简单的判断单调性的方法：增+增=增.增-减=增，减+减=减，减-增=减 4.判断单调性的方法 （1）图像法 （2）定义法 5.单调性的应用 （1）求值域 （2）解不等式 一 直观感知单调性 例1 如图:是定义在区间[-5,5]上的函数,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数? 题型二 利用单调性证明函数的单调性 例2 根据定义证明函数x+在区间（1，+∞）上单调递增. 变式训练:（1）讨论函数y= x+在（0，1）的单调性. （2） 讨论函数y=kx+b在R上的单调性。 题型三 利用函数单调性求参数值或者范围 例3、设函数在区间(−∞，3]上是增函数，求实数a的取值范围. 变式训练：（1）将上列函数单调性改成单调增区间为(−∞，3]，实数a的值。 （2）将上列函数单调性改成在区间（1，2）上是单调函数，实数a的取值范围. 题型四 利用单调性解不等式 例4、 设函数f(x)在R上是增函数，且f(2x-3)<f(5x-6) ，求实数x的取值范围. 变式 函数f(x)在上是增函数，且f(x-1)<f(2x-1) ，求实数x的取值范围. 例5、 变式 (1) 若f(a)=0,则a= (2) f(x)在R上是减函数，则实数a的取值范围。 单调性作业 1.下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 2.函数（ ） A.在内单调递增 B.在内单调递减 C.在内单调递增 D.在内单调递减 3. 已知单增区间是，则的范围是（ ） A.a=-2 B. C.a=6 D. 4， 若函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的单调减函数：若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.函数在区间是增函数，则的递增区间是（ ） A. B. C. D. 7.已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 8.若函数在区间上为增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上（ ） A.必是增函数 B.必是减函数 C .是增函数或是减函数 D.无法确定增减性 9.已知函数定义在同一区间上，是增函数，是减函数，且，则在上（ ） A. 一定是减函数 B.一定是增函数 C. 一定是增函数 D. 一定是减函数 10．定义在Ｒ上的函数f(x)，对任意，有，则（　　） A．f(3)<f(2)<f(1) B．f(1)<f(2)<f(3) C．f(2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(2) 11.（多选）函数在区间上是单调函数,则b可能的取值有（ ） A. B.2 C.-2 D.0 12．若函数是上的增函数，则实数的取值范围是 . 13．已知函数，且当时，总有，若，则实数的取值范围是 . 14用定义法证明y=x+在上的单调性。 15己知是定义在的减函数，且,求的取值范围. 16设函数 （1） 在区间上是增函数,试求实数的取值范围. （2） 为它的单调递增区间，求a的值。 17（选做）函数对任意的, 都有,并且当时,恒有. (1) 求证: 在上是增函数； (2) 若, 解不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $$