2.7.1 抛物线 的标准方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．7　抛物线及其方程 2．7．1　抛物线的标准方程 课程标准 核心素养目标 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程． 2．了解抛物线的简单几何性质． 1．会用抛物线定义解题．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握抛物线标准方程的建立和推导．(逻辑推理) 3．会求抛物线的标准方程．(逻辑推理、数学运算) 1．抛物线的定义 定义 一般地，设F是平面内一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线 焦点 定点F称为抛物线的焦点 准线 定直线l称为抛物线的准线 定义中加上条件“l不经过F”的原因是若点F在直线l上，满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线，而不是抛物线． 2．抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) F(，0) x＝－ y2＝－2px(p>0) F(－，0) x＝ x2＝2py(p>0) F(0，) y＝－ x2＝－2py(p>0) F(0，－) y＝ 根据抛物线方程确定其焦点位置 根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上． [微练1]抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　B　) A．(2，0) B．(－2，0) C．(4，0) D．(－4，0) 解析：抛物线y2＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，且＝2，因此焦点坐标是(－2，0)． [微练2]抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　C　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4． [微练3]抛物线x＝4y2的准线方程是(　C　) A．y＝ B．y＝－1 C．x＝－ D．x＝ 解析：由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－． 知识点一 抛物线定义及应用 若位于y轴右侧的动点M到F(，0)的距离比它到y轴的距离大．求点M的轨迹方程． 解：由于位于y轴右侧的动点M到F(，0)的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F(，0)的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1，2p＝2， 故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)． 抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． [探究1] (变条件)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标． 解：设点N的坐标为(x0，y0 )，则|NF|＝2，即(x0－)2＋y＝4，①又由例题的解析知点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，故y＝2x0，② 由①②可得或 故点N的坐标为(，)或(，－)． [探究2] (变条件)若本例中增加一点A(3，2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标． 解：如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|， 于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋＝， 所以当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0，2)，代入抛物线方程得x0＝2，即M(2，2)． 知识点二 抛物线的标准方程 分别求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为y＝； (2)过点(－3，2)； (3)焦点在直线x－2y－4＝0上； (4)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5． 解：(1)∵抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，即p＝，∴所求抛物线的标准方程为x2＝－y． (2)根据点(－3，2)在第二象限，设抛物线方程为y2＝－2px 或x2＝2py(p>0)， 将点(－3，2)代入方程得2p＝或2p＝， 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y． (3)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2， ∴抛物线的焦点坐标为(0，－2)． 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则由＝2，得2p＝8， ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y． ②令y＝0，由x－2y－4＝0，得x＝4， ∴抛物线的焦点坐标为(4，0)． 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则由＝4，得2p＝16， ∴所求抛物线的标准方程为y2＝16x． 故所求抛物线的标准方程为y2＝16