2.6.1 双曲线的标准方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．6　双曲线及其方程 2．6．1　双曲线的标准方程 课程标准 核心素养目标 1．了解双曲线的定义． 2．了解双曲线的几何图形和标准方程． 1．会用双曲线定义解题．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握双曲线标准方程的建立和推导．(逻辑推理) 3．会求双曲线的标准方程．(逻辑推理、数学运算) 1．双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 在双曲线的定义中，若去掉条件0<2a<|F1F2|，则点的轨迹是：(1)当2a等于|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (2)当2a大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (3)当2a等于零时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 由双曲线的标准方程判断焦点位置 “焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． [微练]已知双曲线方程为－＝1，那么它的焦距为10． 解析：∵a2＝20，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝25．∴c＝5．故焦距为2c＝10． 知识点一 双曲线的定义 已知F1(－4，0)，F2(4，0)是双曲线C：－＝1(m>0)的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且∠F1MF2＝60°，则△F1MF2的面积为________． 答案：4 解析：因为F1(－4，0)，F2(4，0)是双曲线C：－＝1(m>0)的两个焦点，所以m＋4＝16，所以m＝12，设|MF1|＝m′，|MF2|＝n，因为点M是双曲线上一点，且∠F1MF2＝60°， 所以|m′－n|＝4，① m′2＋n2－2m′n cos 60°＝64，② 由②－①2得m′n＝16， 所以△F1MF2的面积S＝m′n sin 60°＝4． 双曲线定义的双向运用 设F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，M为动点， (1)若||MF1|－|MF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线； (2)若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a． 已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则| PF1|＋|PF2|的值为________． 答案：2 解析：不妨设点P为双曲线右支上的点，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2，① 由勾股定理，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝8，② ①2－②得2|PF1||PF2|＝4，③ ②＋③得(|PF1|＋|PF2|)2＝12，即|PF1|＋|PF2|＝2． 知识点二 双曲线的标准方程 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)经过点P(3，)，Q(－，5)； (2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上． 解：(1)方法一　若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．∵点P(3，)和Q(－，5)在双曲线上， ∴解得 (舍去)． 若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得解得则双曲线的标准方程为－＝1． 综上，双曲线的标准方程为－＝1． 方法二　设双曲线方程为＋＝1(mn<0)． ∵P，Q两点在双曲线上， ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为－＝1． (2)方法一　依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 则有解得故双曲线的标准方程为－y2＝1． 方法二　∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)． ∴－＝1，∴解得λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1． 用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上． (2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2＋By2＝1(AB＜0))． (3)定值：根据题目的条件确定相关系数的方程，解出系数，代入所设方程． (1)已知双曲线过M(1，1)，N(－2，5)两点，求双曲线的标准方程； (2)求与双曲线－＝1有相同的焦点，且过点P(2，1)的双曲线的方程． 解：(1)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵双曲线过点M(1，1)，N(－2，5)， ∴解得 ∴双