2.1 坐标法（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2．1　坐标法 课程标准 核心素养目标 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式，并能灵活应用． 2．了解坐标法的解题步骤． 1．会求两点间距离．(数学运算) 2．会用坐标法解决平面几何问题．(逻辑推理、数学运算) 1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点间距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝． (2)平面直角坐标系内的中点坐标公式 设平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x，y)，则x＝，y＝． [微练1]已知A(2，－3)，B(1，1)，那么线段AB的长为(　D　) A． B． C． D． [微练2]P(x，y)关于G(x0，y0)的对称点P′的坐标是(2x0－x，2y0－y)． 解析：由题意知，点G是线段PP′的中点，由中点坐标公式可知点P′的坐标为(2x0－x，2y0－y)． 2．坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题，这种解决问题的方法称为坐标法． [微练3]在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝(　D　) A．2 B．4 C．5 D．10 知识点一 两点间距离公式及应用 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 解：∵|AB|＝＝2，|AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． (1)涉及线段长度等问题，一般要考虑利用两点间距离公式求解． (2)两点间距离与A，B的顺序无关，仅与点的位置有关． 已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设所求点P(x，0)，于是由|PA|＝|PB|得 ＝， 即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1． 所以所求P点坐标为(1，0)， |PA|＝＝2． 知识点二 中点坐标公式的应用 已知▱ABCD的两个顶点坐标分别为 A(4，2)，B(5，7)，对角线的交点为E(－3，4)，求另外两个顶点C，D的坐标． 解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)． 因为E为AC的中点，所以－3＝，4＝， 解得x1＝－10，y1＝6． 又因为E为BD的中点，所以－3＝，4＝， 解得x2＝－11，y2＝1． 所以C的坐标为(－10，6)，D的坐标为(－11，1)． 对平面内中点坐标公式两个方面的认识 (1)从公式上看，根据方程思想，可以知二求一，即只要知道公式两边的任意两个量，就可以求出第三个量． (2)从图像上看，只要知道任意两个点，就可以求出第三个点． 已知A(x，5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　) A．4 B． C． D． D　解析：因为C为AB的中点，所以解得故P(4，1)，|OP|＝． 知识点三 用“坐标法”解决平面几何问题 在△ABC中，AD是BC边上的中线． 求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)． 证明：以边BC所在直线为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示， 设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)． ∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)． 用解析法解决几何问题的步骤 已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系．证明：|AM|＝|BC|． 证明：如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系． 设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．因为点M是BC的中点，所以点M的坐标为(，)． 由两点距离公式得|BC|＝＝， |AM|＝＝． 所以|AM|＝|BC|． 学科网（北京）股份有限公司 $$