1.2.4 二面角（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．2．4　二面角 课程标准 核心素养目标 能用向量方法解决简单的二面角问题 1．掌握二面角的概念．(数学抽象) 2．理解二面角的平面角的含义．(直观想象、逻辑推理) 3．会用向量法解决二面角的计算问题．(数学运算) 1．二面角及其度量 [微练1]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面B1C1DA与平面BCDA所成的二面角的大小为45°． 2．用空间向量求二面角的大小 (1)如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则有θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，特别地，sin θ＝sin 〈n1，n2〉． (2)设二面角α­l­β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，有|cos θ|＝|cos 〈n1，n2〉|＝成立． 利用公式cos 〈n1，n2〉＝(n1，n2分别为两平面的法向量)进行求解，注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需结合图形进行判断． 如图(2)(4)中〈n1，n2〉就是二面角α­l­β的平面角的补角；如图(1)(3)中〈n1，n2〉就是二面角α­l­β的平面角． [微练2]在三棱锥A­BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A­BD­C的大小为(　C　) A． B． C．或 D．或 解析：∵二面角的范围是[0，π]，且〈n1，n2〉＝，∴二面角A­BD­C的大小为或．故选C． 知识点一 定义法求二面角 如图所示，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B­PA­C的平面角的正切值． 解：∵PC⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面AB， 交线为AC．作BD⊥AC于点D， 据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于点E，连接BE，据三垂线定理，则BE⊥PA， 从而∠BED是二面角B­PA­C的平面角． 设PC＝a，依题意知△ABC是边长为a的正三角形， ∴D是AC的中点，且BD＝a． ∵PC＝CA＝a，∠PCA＝90°，∴∠PAC＝45°， ∴在Rt△DEA中，ED＝AD·sin 45°＝·＝a， 则在Rt△BED中，tan ∠BED＝＝＝． 故二面角B­PA­C的平面角的正切值为． 利用定义法求两平面夹角的步骤 (1)由定义作出二面角的平面角； (2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角； (3)作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角． 如图，已知二面角α­a­β等于120°，PA⊥α，A∈α，PB⊥β，B∈β，求∠APB的大小． 解：设平面PAOB∩α＝OA，平面PAOB∩β＝OB． ∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a． 同理PB⊥a．∴a⊥平面PAOB． 又∵OA⊂平面PAOB，∴a⊥OA． 同理a⊥OB． ∴∠AOB是二面角α­a­β的平面角． 在四边形PAOB中，∠AOB＝120°，∠PAO＝∠PBO＝90°，所以∠APB＝60°． 知识点二 向量法求二面角 (2021·新高考Ⅱ卷)在四棱锥Q­ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3． (1)证明：平面QAD⊥平面ABCD； (2)求二面角B­QD­A的平面角的余弦值． (1)证明：取AD的中点E，连接QE， ∵QD＝QA＝，∴QE⊥AD． ∵AD＝2，∴DE＝1， ∴QE＝＝2，CE＝＝． ∴QE2＋CE2＝9＝QC2，∴QE⊥CE． 又∵AD∩CE＝E，AD⊂平面ABCD，CE⊂平面ABCD， ∴QE⊥平面ABCD， ∵QE⊂平面QAD，∴平面QAD⊥平面ABCD． (2)解：取BC中点F，连接EF，易得EF，ED，EQ两两垂直，如图，分别以EF，ED，EQ所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 则B(2，－1，0)，Q(0，0，2)，D(0，1，0)， ∴＝(－2，1，2)，＝(0，1，－2)． 设平面BQD的一个法向量n1＝(x，y，z)， 则⇒ 取z＝1，可得x＝2，y＝2，∴n1＝(2，2，1)． 易知平面QDA的一个法向量n2＝(1，0，0)， 设二面角B­QD­A的平面角为θ，则θ为锐角． cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝． ∴二面角B­QD­A的平面角的余弦值为． 利用向量法求两平面夹角的步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出两个平面的法向量n1和n2； (3)设平面间的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|； (4)利用余弦值，确定平面间的夹角的大小． 如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1． (1)证明：BE⊥平面EB1C1； (2)若AE＝A1E，求二面角B­EC­C1的正弦值． (1)证明：由已知得，B1C