1.2.3 直线与平面的夹角（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．2．3　直线与平面的夹角 课程标准 核心素养目标 能用向量方法解决简单的直线与平面的夹角问题 1．掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念．(数学抽象) 2．理解最小角定理及公式cos θ＝cos θ1cos θ2，并能利用这一公式解决相关问题．(逻辑推理、数学运算) 3．会利用空间向量求直线与平面所成角的问题．(数学运算) 1．直线与平面所成的角 [微练1]判断正误 (1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角．(　×　) (2)若直线与平面相交，则该直线与平面所成角的范围为(0，)．(　×　) 2．最小角定理 (1)线线角、线面角的关系式 如图，设OA是平面α的一条斜线段，O为斜足，B为A在平面α内的射影，OM是平面α内的一条射线．θ是OA与OM所成的角，θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角，则有cos θ＝cos_θ1cos_θ2． (2)最小角定理 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． [微练2]已知平面α内的角∠APB＝60°，射线PC与PA，PB所成角均为135°，则PC与平面α所成角的余弦值是(　B　) A．－ B． C． D．－ 解析：设PC与平面α所成的角为θ，由最小角定理知cos 45°＝cos θcos 30°，∴cos θ＝． 3．用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则有 (1)θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－； (2)cos θ＝sin 〈v，n〉，sin θ＝|cos〈v，n〉|． 知识点一 定义法求直线与平面所成的角 在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，连接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值． 解：如图，连接OB，OC，过A，E分别作AO⊥平面BCD，EG⊥平面BCD，O，G为垂足．则AO∥GE，AO＝2GE． 连接GC，则∠ECG为EC和平面BCD所成的角． 因为AB＝AC＝AD，所以OB＝OC＝OD． 因为△BCD是正三角形，所以O为△BCD的中心． 连接DO并延长交BC于F，则F为BC的中点． 令正四面体ABCD的棱长为1， 可求得CE＝，DF＝，OD＝DF＝， 则AO＝＝＝，所以EG＝． 在Rt△ECG中，sin ∠ECG＝＝． 即CE和平面BCD所成角的正弦值为． 1．利用定义法求直线与平面所成的角，首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角，然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小．其基本步骤可归纳为“一作，二证，三计算”． 2．找射影的两种方法：(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；(2)利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影． 如图，在三棱锥P­ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB＝E，且DE⊥AB，PA＝，PB＝，则PA与平面CDE所成角的正切值为(　　) A． B． C． D． A　解析：∵PA2＋PB2＝AB2，∴PA⊥PB．过P作PM⊥AB于M(图略)，则PM∥DE．∵DE⊥AB，AB⊥DC，DE∩DC＝D，∴AB⊥平面CDE， ∴PA与平面CDE所成的角等于∠APM． 又∵∠APM＝∠PBA， ∴tan ∠APM＝tan ∠PBA＝＝． 知识点二 向量法求直线与平面所成的角 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点． (1)求证：PB⊥DM； (2)求BD与平面ADMN所成的角． (1)证明：如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系， 设BC＝1，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，1，0)，M(1，，1)．＝(2，0，－2)，＝(1，－，1)，＝(0，2，0)，＝(2，－2，0)， ∵·＝(2，0，－2)·(1，－，1)＝0， ∴⊥，∴PB⊥DM． (2)设平面ADMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即解得y＝0，x＝－z，令x＝1，则z＝－1， 所以n＝(1，0，－1)为平面ADMN的一个法向量． ∵cos 〈n，〉＝＝＝， 设直线BD和平面ADMN所成的角为θ， ∴sin θ＝|cos 〈n，〉|＝， ∴BD与平面ADMN所成的角为． 利用法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)求平面的法向量n； (4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝||＝． 如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D