1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．2　空间向量在立体几何中的应用 1．2．1　空间中的点、直线与空间向量 课程标准 核心素养目标 1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量． 2．能用向量语言表述直线的平行、垂直关系． 3．能用向量方法解决直线的平行与垂直的有关问题． 1．理解位置向量、方向向量的概念．(数学抽象，直观想象) 2．能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题．(数学运算) 3．初步了解两条异面直线的距离的定义．(数学抽象) 1．点的位置向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时， 通常称为点P的位置向量． 2．直线的方向向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量． 此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l． 几个结论： (1)如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝是直线l的一个方向向量； (2)如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行． (3)如果v是直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则空间中直线l的位置关系可由v和点A唯一确定． (4)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合． [微练1]已知a＝(1，2，)，b＝(，x，y)分别是直线l1，l2的一个方向向量．若l1∥l2，则(　D　) A．x＝3，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝3，y＝ 解析：因为l1∥l2，所以＝＝，所以x＝3，y＝，故选D． 3．空间中两条直线所成的角 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，特别地，sin θ＝sin 〈v1，v2〉，cos θ＝|cos 〈v1，v2〉|; l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0． [微练2]已知直线a，b的方向向量分别是m＝(1，k，1)，n＝(k，k＋2，2)，若a⊥b，则k＝－1或－2． 解析：∵a⊥b，∴m⊥n，即m·n＝0．∴k＋k2＋2k＋2＝0，即k2＋3k＋2＝0，∴k＝－2或k＝－1． 4．两条异面直线的距离 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段，并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 知识点一 利用向量法判定直线的位置关系 设a，b分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系： (1)a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)； (2)a＝(5，0，2)，b＝(0，4，0)． 解：(1)∵a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)， ∴a＝－b， ∴a∥b．∴l1∥l2． (2)∵a＝(5，0，2)，b＝(0，4，0)，∴a·b＝0．∴a⊥b，∴l1⊥l2． 判断直线的位置关系，可用直线对应的方向向量的坐标来刻画，对于此类问题应注意先要进行宏观判断，再合理地选取坐标公式． 若直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．(注：下面的λ，k∈R)． (1)如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔ u1＝λu2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)； (2)如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0． 已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 C　解析：∵a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，∴a·b＝－4＋0＋4＝0，∴a⊥b．∵＝＝，∴a∥c． 知识点二 利用向量法求两条直线所成的角 如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小． 解：以O为坐标原点，，的方向为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)， ＝＝． ∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为． 求异面直线所成角的两类方法 (1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．这种方法灵活技巧性强