1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．1．3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 课程标准 核心素养目标 1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性． 2．会用空间直角坐标系刻画点的位置． 3．掌握空间向量的坐标表示． 4．掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示． 5．借助空间向量运算的坐标表示，探索并得出空间两点间的距离公式． 1．在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示．(数学抽象) 2．能正确地运用空间向量的坐标，进行向量的线性运算与数量积运算．(数学运算) 3．初步学会用坐标法解决简单的立体几何问题．(逻辑推理、直观想象) 1．空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量． [微练1]已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　A　) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，12，10) D．(4，3，2) 解析：由题意知p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)． 2．空间向量的运算与坐标的关系 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(x1＋ x2，y1＋ y2，z1＋ z2) 减法 a－b a－b ＝( x1－ x2，y1－ y2，z1－ z2) 数乘 λa λa＝(λx1，λy1，λz1) 数量积 a·b a·b＝x1 x2＋ y1 y2＋ z1 z2 (1)如果μ，v是两个实数，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么μa＋vb＝(μx1＋vx2，μy1＋vy2，z1＋vz2)． (2)|a|＝＝． (3)cos 〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0)． [微练2]已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b＝(　D　) A．(16，0，4) B．(8，－16，4) C．(8，16，4) D．(8，0，4) 解析：4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4)． [微练3]向量a＝(2，－3，)，b＝(1，0，0)，则cos 〈a，b〉＝． 解析：cos 〈a，b〉＝＝＝． 3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有a∥b⇔＝＝(其中x1y1z1≠0)； a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 若不明确x1y1z1≠0，则可以用以下结论进行求解，即a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔ [微练4]已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则x＝6，y＝， 解析：因为a∥b，则＝＝，解得 [微练5]已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，5，x)，若a⊥b，则x＝1． 4．空间直角坐标系 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz． 在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴；通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面．z轴的正方向一般按照如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． (1)空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间，有一一对应关系，空间一点M的位置完全由有序实数组(x，y，z)确定，因此将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z)．此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)． (2)在空间中建立了空间直角坐标系之后，向量的坐标与P点的坐标相同，即＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)⇔P(x，y，z)． [微练6]点P(1，2，1)关于xOz平面的对称点的坐标是(　A　) A．(1，－2，1) B．(－1，－2，1) C．(1，2，－1)