1.1.1 第1课时 空间向量及空间向量的线性运算（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．1　空间向量及其运算 1．1．1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及空间向量的线性运算 课程标准 核心素养目标 1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 1．理解空间向量的有关概念．(数学抽象) 2．掌握空间向量的线性运算及其运算律．(逻辑推理、数学运算) 3．会判断向量的共面．(逻辑推理) 1．空间向量的概念 空间向量 空间中既有大小，又有方向的量 零向量、单位向量 始点和终点相同的向量称为零向量，记为0．模等于1的向量称为单位向量 相等向量 大小相等、方向相同的向量 相反向量 大小相等、方向相反的向量 向量平行(或向量共线) 方向相同或者相反的两个非零向量 向量共面 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 [微练1]判断正误 (1)两个有共同始点且相等的向量，其终点必相同．(　√　) (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．(　×　) (3)在空间中，任意一个向量都可以平移．(　√　) [微练2]在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：与相等的向量有，共3个． 2．空间向量的线性运算及其运算律 (1)加法运算：a＋b＝． (2)减法运算：a－b＝． (3)数乘运算：λa， ①当λ≠0，且a≠0时，|λa|＝|λ||a|． 当λ>0时，λa与a方向相同； 当λ<0时，λa与a方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． (4)线性运算律 ①加法交换律：a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； ③分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb． 空间向量的线性运算中，加法运算满足三角形法则和平行四边形法则，减法运算满足三角形法则． (1)在△ABC中，＋＋＝0． (2)在以向量a，b对应的有向线段为邻边的平行四边形中，a＋b与a－b对应的有向线段所表示的是两条对角线，|a＋b|与|a－b|为两条对角线的长度． (3)三个不共面的向量和，等于在以这三个向量对应的有向线段为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量． 知识点一 向量有关概念的辨析 (1)(多选)下列命题正确的是(　　) A．零向量没有确定的方向 B．在正方体ABCD­A1B1C1D1中， C．若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反 D．在四边形ABCD中，必有＋＝ (2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的所有向量中，与向量相等的向量有______；与向量相反的向量有______．(要求写出所有适合条件的向量) 答案：(1)AB　(2)，，　，，， 解析：(1)A正确；B正确，因为的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以；C中，虽然|a|＝|b|，a与b的方向不能确定；D中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有＋＝．综上可知，正确命题为AB． (2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，．与向量相反的向量有，，，． 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性． 如图所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量． 解：(1)与向量相等的向量有，共3个； (2)向量的相反向量为，共4个． 知识点二 空间向量的线性运算 如图所示，已知长方体ABCD­A′B′C′D′．化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果． (1)－；(2)＋＋． 解：(1)－＝－＝＋＝＋＝． (2) ＋＋＝(＋)＋＝＋＝． 向量，如图所示． [探究] 试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量用向量，，表示． 解：在平行四边形ACC′A′中，由平行四边形法则可得＝＋， 在平行四边形ABCD中，由平行四边形法则可得＝＋， 故＝＋＋． 1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用向量平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 2．利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． (1