课后提升练(二十五) 双曲线的标准方程（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(二十五)　双曲线的标准方程 1．已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为 (　　) A． B． C．4 D．10 C　解析：根据题意可知a2－4＝9＋3＝12，结合a>0的条件，可知a＝4． 2．(多选)已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的(　　) A．2 B．－1 C．4 D．－3 AB　解析：设双曲线的方程为－＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0， ∴－<m<，且m≠，∴A，B满足条件． 3．双曲线－＝1的焦距是(　　) A．16 B．4 C．8 D．2 C　解析：由题意可得双曲线中a2＝m2＋12，b2＝4－m2，则c2＝a2＋b2＝16，焦距为2c＝2×＝8． 4．方程＋＝1(θ∈R)所表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线 C　解析：因为－1≤sin θ≤1，所以2≤2sin θ＋4≤6，－4≤sin θ－3≤－2，所以方程＋＝1(θ∈R)所表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线． 5．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 C　解析：由得 (|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2， 又c＝，所以b＝1，则双曲线方程为－y2＝1，故选C． 6．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是________． 答案：1 解析：依题意得解得a＝1． 7．已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________． 答案：－＝1或－＝1 解析：∵a＝5，c＝7， ∴b2＝c2－a2＝24．当焦点在x轴上时，双曲线方程为－＝1；当焦点在y轴上时，双曲线方程为－＝1． 8．方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为________． 答案：m＜－3 解析：∵方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，∴解得m＜－3． 9．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1, ∴圆心F1(－5，0), 半径r1＝1． 圆F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圆心F2(5，0)，半径r2＝4． 设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3． ∴M点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线左支， 且a＝，c＝5，∴b2＝c2－a2＝． ∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≤－)． 10．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点，若|PQ|等于16，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为(　　) A．11 B．22 C．33 D．44 D　解析：由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，所以点A(5，0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝16，由双曲线定义得，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6．所以|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，因此△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44． 11．若椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(s，t＞0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　) A．m－s B．(m－s)　 C．m2－s2 D．－ A　解析：如图所示，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则∴4xy＝4(m－s)．∴xy＝m－s． 12．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是________． 答案：x2－＝1 解析：设双曲线方程为－＝1，因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以－＝1．由于线段PF1的中点坐标为(0, 2)，则P点的坐标为(， 4)．代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－＝1． 13．已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 答案：9 解析：设右焦点为F′，依题意， |PF|＝|PF′|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF′|＋4＋|PA