课后提升练(二十三) 椭圆的标准方程（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(二十三)　椭圆的标准方程 1．椭圆5x2＋6y2＝30的焦点坐标为(　　) A．(－3，0)，(3，0) B．(0，－3)，(0，3) C．(－1，0)，(1，0) D．(0，－1)，(0，1) C　解析：根据题意，椭圆5x2＋6y2＝30的标准方程为＋＝1，其中a2＝6，b2＝5，且其焦点在x轴上，则c2＝6－5＝1，则椭圆的焦点坐标为(－1，0)，(1，0)． 2．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　解析：方法一　验证排除，将点(4，0)代入验证可排除A，B，C，故选D． 方法二　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，则解得故选D． 3．若椭圆＋＝1(m＞0)的一个焦点坐标为(1，0)，则m的值为(　　) A．5 B．3 C． D． D　解析：根据题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，则有4－m2＝1，解得m＝±．又m＞0，则m＝． 4．已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a>0)的焦距为4，则a＝(　　) A．8 B．12 C．16 D．52 C　解析：由题意得，2＝4，解得a＝16． 5．(多选)下列m的取值，能够使方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆的是(　　) A．m＝－2 B．m＝0 C．m＝－3 D．m＝ ACD　解析：若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则解得m<－1 或1<m<． 6．设椭圆＋＝1过点(－2，)，那么焦距等于________． 答案：4 解析：因为椭圆＋＝1过点(－2，)，所以m2＝16，则c2＝16－4＝12，故焦距2c＝4． 7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________；其焦点坐标为______________． 答案：＋＝1　(±1, 0) 解析：由题意知解得则b2＝a2－c2＝3，故椭圆的标准方程为＋＝1，焦点坐标为(±1，0)． 8．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的________倍． 答案：7 解析：由已知，不妨设F1(－3，0)，F2(3，0)，由条件知，P(3，±)，即|PF2|＝．由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4．所以|PF1|＝．所以|PF1|＝7|PF2|． 9．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点． (1)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积； (2)求|PF1|·|PF2|的最大值． 解：(1)由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝20，① 在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2， 即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|．② ①2－②，并整理，得|PF1|·|PF2|＝． 所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin ＝． (2)由＋＝1可知，a＝10，c＝6，所以|PF1|＋|PF2|＝20， 所以|PF1|·|PF2|≤()2＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立． 所以|PF1|·|PF2|的最大值是100． 10．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 D　解析：∵a＞0，∴|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2＝6＝|F1F2|，当|PF1|＋|PF2|>|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆；当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2． 11．若椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 A　解析：方法一　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由∠F1PF2＝90°且|F1F2|＝8，知r＋r＝64．又r1＋r2＝10，可得r1r2＝18，所以S△PF1F2＝r1r2＝9． 方法二　S△PF1F2＝b2tan ＝9×tan 45°＝9． 12．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足＝0的点P的个数为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 B　解析：因为＝0，所以PF1⊥PF2，所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c＝＝2．又因为b＝2，所以点P为该椭圆与y轴的两个端点． 13．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(