课后提升练(八) 二面角（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课后提升练(八)　二面角 1．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则(　　) A．∠ADE是二面角A­PC­B的平面角 B．∠AED是二面角A­PB­C的平面角 C．∠DAE是二面角B­PA­C的平面角 D．∠ACB是二面角A­PC­B的平面角 B 2．已知二面角α­l­β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角α­l­β的大小为(　　) A． B． C．或 D．或 C　解析：由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α­l­β的大小为或，故选C． 3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足＝＋＋，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为(　　) A． B． C． D． B　解析：如图，过点P作PN⊥AB交AB于点N，作PM⊥平面ABCD，垂足为M．由三垂线定理可知AB⊥MN，所以∠PNM为所求二面角的平面角，易知PM＝，MN＝，故PN＝，所以cos ∠PNM＝＝． 4．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° B　解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1， 则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．于是＝(0，1，0)，取PD的中点E，则E(0，，)，∴＝(0，，)，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量， ∴cos 〈，〉＝，∴平面PAB与平面PCD所成的角为45°． 5．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为________． 答案： 解析：由题意得＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由 知令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，)．平面xOy的一个法向量为m＝(0，0，1 )．由此易求出所求锐二面角的余弦值为＝． 6．已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A­BD­C 的正弦值为________． 答案： 解析：取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC＝1，则A(0，0，)，B(0，－，0)，D(，0，0)．所以＝(0，0，)，＝(0，，)，＝(，，0)．由于＝(0，0，)为平面BCD的一个法向量，设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则 所以取x＝1，则y＝－，z＝1， 所以n＝(1，－，1)，所以cos 〈n，〉＝，所以sin 〈n，〉＝． 7．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1． (1)求SC与平面ASD所成角的余弦值； (2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值． 解：(1)以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， S(0，0，2)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，＝(2，2，－2)， ∵AB⊥平面SAD，故平面ASD的一个法向量为＝(0，2，0)，设SC与平面ASD所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝， 故cos θ＝，即SC与平面ASD所成角的余弦值为． (2)平面SAB的一个法向量为m＝(1，0，0)， ∵＝(2，2，－2)，＝(1，0，－2)，设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由⇒ 令z＝1可得平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1)， 显然，平面SAB和平面SCD所成角为锐角，不妨设为α，则cos α＝＝， 即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为． 8．如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．若二面角P­AC­E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 解：如图，作CF∥DA，交AB于点F，以C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)． 设P(0，0，a)(a>0)，则E(，－，)， ＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，＝(，－，)， 取m＝(1，－1，0)，则m·＝m·＝0， 所以m为平面PAC的一个法向量． 设n＝(x，y，z)为平面EAC的一个法向量， 则即取x＝a， 可得n＝(a，－a，－2)， 依题意，|cos 〈m，n〉|＝＝＝， 解得a＝1(负值舍去)． 于是n＝(1，