3.3.2抛物线的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

复习巩固 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 一个定义： 两类问题： 三项注意： 四种形式： 1.求抛物线标准方程； 2.已知方程求焦点坐标和准线方程. 1.定义的前提条件：直线l不经过点F; 2.p的几何意义：焦点到准线的距离； 3.标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线. 抛物线的标准方程有四种： y2=2px(p>0), y2=-2px(p>0)， x2=2py(p>0), x2=-2py(p>0). 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质     延时符 授课人： 日期：2023年11月8日 2 学习目标  掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几 何性质；（重点)  运用解析法（坐标法）研究抛物线的几何性质，并能利用几何性质解决相关问题  核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 3 新知导入 4 抛物线有许多重要性质. 我们根据抛物线的标准方程y2=2px(p>0)①研究它的一些简单几何性质. 1.范围 因为p＞0，由方程（1）可知，对于抛物线（1）上的点M (x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同; 当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2.对称性 以－y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 4 新课知识 5 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点． 4.离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义(|MF|=|MK)可知，． 抛物线有许多重要性质. 我们根据抛物线的标准方程y2=2px(p>0)①研究它的一些简单几何性质. 5 y2=2px x y 新课知识 6 抛物线有许多重要性质. 我们根据抛物线的标准方程y2=2px(p>0)①研究它的一些简单几何性质. F A B 2p 过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径. 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. |AB|=2p 2p越大，抛物线张口越大. 5.通径 6 新课知识 7 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 焦半径公式： 6.焦半径 |PF|=|PH| |PF|=|PQ|+|QH| |PQ|=x , |QH|=p/2 F P H Q (x,y) x y 7 新课知识 8 方程 图 形 范围 对称性 顶点 离心率 y2 = 2px （p＞0） y2 = -2px （p＞0） x2 = 2py （p＞0） x2 = -2py （p＞0） l F y x O l F y x O l F y x O x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 y≤0 x∈R l F y x O 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 （0,0） e=1 抛物线的几何性质 8 例题精讲 9 解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（)) 因为点M在抛物线上，所以 因此,所求抛物线的标准方程是 即. 所以，可设它的标准方程为 【例1】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点M（，），求它的标准方程. 寻关系 得方程 定位置 根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向 设方程 根据焦点和开口方向设出标准方程 解方程，将p代入所设方程为所求 根据条件列出关于p的方程 9 解：由题意可知, 所以直线的方程为 ①. 如图,设, 到准线的距离分别为, . . 将①代入方程， 于是 所以,线段 例题精讲 10 【例2】 斜率为1的直线经过抛物线的焦点. 且与抛物线相较于 两点，求线段的长. 分析：数形结合 焦点弦 A A B B x y . ||= || ||= || 10 课堂练习 11 过点作斜率为1的直线，交抛物线于两点，求. 分析：数形结合 解： 由题意知直线的方程为 .① 得 化简得 所以， A B x y ①代入方程 设