3.2.1函数单调性与最大（小）值课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 观察这些函数图象，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 函数的单调性 如何用符号语言刻画函数的单调性？ 我们先来研究二次函数的单调性. 由于这个函数的图象在轴左右两侧的变化趋势（单调性）不同，我们需要分为两个部分来描述. 自然语言：在轴左侧,图象从左往右一直呈现下降趋势,也就是说,当时，随的增大而减小. 符号语言：任意取得到，那么当时，有此时，我们说函数在区间上单调递减. 你能类似地描述在区间上单调递增吗？ 自然语言：在轴右侧,图象从左往右一直呈现上升趋势,也就是说,当时，随的增大而增大. 符号语言：任意取得到，那么当时，有此时，我们说函数在区间上单调递增. x y o 对于任意函数,又如何用符合语言刻画单调性呢？ 一般地,设函数的定义域为,区间 如果，当时，都有,那么就称函数在区间上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们称它为增函数. 一般地,设函数的定义域为,区间 如果，当时，都有,那么就称函数在区间上单调递减. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们称它为减函数. 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间. 思考1： 函数在定义域的某区间上存在满足且,那么函数在该区间上一定是单调递增吗？ 思考2： 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -2 -3 2 3 o 如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间. 单调区间有 其中单调增区间有 单调增区间有. 思考3： 此函数的单调增区间能不能写为 达标检测 例1 根据定义,分析并证明函数的单调性. 解：设,且,则,因为,所以. ①当时, ,于是,即. 这时, 是增函数. ②当时, ,于是,即. 这时, 是减函数. 用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取数:任取x1，x2∈I，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方； 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5.结论:指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性. 例2 根据定义证明函数在区间上单调递增. 证明:(取数) ,且, (作差)有 (变形) (定号)由,得所以 又,所以.于是即. (结论)所以,函数在区间上单调递增. 观察 下列两个函数的图象： 图1 o x0 x M y y x o x0 图2 M 观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？ 思考 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？ O 1 2 1、对任意的 都有ƒ(x)≤1. 2、存在0，使得ƒ(0)=1. ƒ(0)=1 f(x) M 1是此函数的最大值 一般地，设函数y= f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x ∈D，都有f (x) ≤M; （2）存在 ，使得. M是函数y= f (x)的最大值（maximum value） 能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？ 思考 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果实数M满足： （1）对于任意的的x∈D，都有f(x) ≥M; （2）存在使得 ， 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）. 例3 已知函数 求函数的最大值与最小值. 解法一：由函数的图象可知道，此函数在[2，6]上单调递减。所以在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值. 解法二：设且,则,由得 ,于是,即.所以函数 在区间单调递减. 故函数最大值为,最小值为. 1．下列函数在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 【答案】　C 2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 【解析】　易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)． 【答案】　B $$