2024届高考数学一轮复习讲义：平面向量的运算

课题：平面向量的运算 知识点 一、平面向量的线性运算 1．向量的加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法． （1）向量加法的平行四边形法则；（2）向量加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则第一个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和 （3）对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况． 2．向量加法的性质：（1）向量加法的交换律：； （2）向量加法的结合律：； （3）． 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律：； （2）结合律： 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 3．向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算（用加法的逆运算定义向量的减法）．若则叫做的差，记作． 4．求作差向量：已知向量，求作向量． 作法：在平面内取一点，作可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量． 二、平面向量的数量积 1．两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos 叫做与的数量积（或内积） 规定 2．向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影 3．数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积 4．向量的模与平方的关系： 5．乘法公式成立： ； 6．平面向量数量积的运算律：（1）交换律成立： （2）对实数的结合律成立： （3）分配律成立： 特别注意：（1）结合律不成立：；消去律不成立不能得到 （3）=0不能得到=或= 7．两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量，则·= 8．向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角cos== 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9．两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O 【注1】 1．三点共线的性质定理： （1）若平面上三点A、B、C共线，则＝λ． （2）若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则＝λ＋μ，且λ＋μ＝1． 2．共线向量定理应用时的注意点： （1）向量共线的充要条件中要注意“≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 【注2】 1．两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点． 2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．． 3．几个重要结论 （1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； （2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． 【注3】 1．常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则． 2．找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． 典型例题 例1设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（ ） 例2设分别为的三边的中点，则（ ） A． B． C． D． 例3已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（    ） A． B． C． D． 例4已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 例5已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 例6已知平面向量与的夹角等于，如果，那么（ ） A． B．9 C． D．10 例7如图，在△ABC中，是BN的中点，若，则实数m的值是（ ） A． B．1 C． D． 例8如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，，BN与CM交于点P，若，，则的值为（ ） A． B． C． D．6 例9已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______． 例10已知向量，满足，，，则_________． 例11在中，，若D为BC中点，则为_________． 例12已知向量满足的夹角为，则的值是_____． 例13已知向量与的夹角为，记且，则_____． 例14已知向量满足且，