精品解析：上海市青浦区第一中学2023-2024学年高三上学期期中测试数学试题

青浦一中2023学年第一学期高三数学期中测试 （注：本卷共21道大题，满分150分，时间120分钟，可以使用计算器） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12 题每题满分5分， 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.） 1 已知集合，若，则__________. 2. 已知为虚数单位，若复数满足，则_____________. 3. 若且满足，则的最小值为_________. 4. 已知向量，，，，则m=___________. 5. 若，，则_________. 6. 已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则的值为__________. 7. 已知数列是等差数列，，则__________. 8. 甲从家到公司上班，其行车距离（里程）为15公里.他叫了一辆网约车，行驶4公里时，同事乙也搭乘去公司.到达公司后，两人决定公平地分摊乘车费.他们一致同意： ①出租车简单地按照单价乘以里程来收费； ②不考虑起步价、燃油费等因素； ③不考虑同事关系及甲的预约操作成本. 根据上述约定，甲、乙两人需支付的乘车费比例为_______. 9. 已知，曲线经过点且在该点处的切线方程为，则 _______. 10. 已知函数的定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为______. 11. 已知正四面体的棱长均为1， 是空间中一动点，则的取值范围是________. 12. 已知关于方程 在实数范围内有解，则 的最小值为_______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13~14题每题满分4分，第15~16题每题满分5分，每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.） 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 下列函数中，在其定义域内既不是增函数，也不是减函数的为（ ）. A. B. C D. 15. 设函数图像的一条对称轴方程为，若是该函数的两个不同的零点，则不可能取下述选项中的（ ）. A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（ ）. A B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）在锐角中，若，，，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，平面分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求点到平面的距离． 19. 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数； （2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率. 20. 设，已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，把合称为曲线. （1）若离心率为，求的离心率； （2）若，为上一动点， 为定点， 求的最小值; （3）若，为上一动点， 为上一动点，且，问是否为定值?如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由. 21. 已知函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”. （1）已知 为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求； （2）已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； （3）已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青浦一中2023学年第一学期高三数学期中测试 （注：本卷共21道大题，满分150分，时间120分钟，可以使用计算器） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12 题每题满分5分， 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.） 1. 已知集合，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合， 因为，根据集合交集的定义与运算，可得. 故答案为：. 2. 已知为虚数单位，若复数满足，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据复数的加减法及乘法运算求出，再根据复数的乘法运算即可得解. 【详解】设，则， 所以， 因为， 所以，所以， 所以， 则. 故答案为：. 3. 若且满足，则的最小值为