3.3.1抛物线及其标准方程导课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

直线 3.3.1 抛物线及其标准方程 创设情景，引出课题 l 创设情景，引出课题 l 问题导入 l 在椭圆和双曲线的学习中，我们了解了它们的第二定义.即如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离的比为， 当时，点的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为双曲线. Q1 那么，当时，点的轨迹是什么？ · M F l 0＜e ＜1 l F · M e＞1 · F M l · e=1 新知探索 l 问题：利用信息技术作图.如图，是定点，是不经过点的定直线，是直线上任意一点，我们先连接，再作的垂直平分线，过作定直线的垂线，交直线于点.你能发现点满足的几何条件吗？拖动点，观察点的轨迹，它的轨迹是什么形状呢？你是否接触过类似的图形呢？ l l l 1.抛物线的定义 平面内到一个定点F和到一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点M的轨迹叫抛物线. 注：若直线l过点F, 则点M的轨迹是过点F且与l垂直的直线。 点F叫做抛物线的焦点; 直线l叫做抛物线的准线. 焦点 准线 思考：如何建立抛物线的方程? 两边平方,整理得 2.1推导抛物线的标准方程 l x K y o M F (x,y) d 如图,我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy. 设|KF|=p(p>0), 设M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={MǀǀMFǀ=d}. 新知探索 l l 我们把方程叫做抛物线的标准方程. 它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线. Q2 抛物线只有这一种形式吗 ？ p的几何意义是：___________________ 焦点到准线的距离(焦准距). 开口方向：_____ 向右 K F M • • x y O H 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 2.2抛物线的标准方程 p的含义：焦点F到准线l的距离. Q3 抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点? 左边都是平方项， 右边都是一次项. Q4 如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？ (1)焦点在一次项字母对应的坐标轴上. (2)一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向. 新知探索 l 问题5：二次函数的图象是抛物线吗？如果是，请写出它的焦点坐标、准线方程. l ∵∴. 焦点在轴正半轴上，焦点，准线方程为. 1.思考辨析 (1)若动点P到定点F(1,1)的距离等于它到定直线：3x+y-4=0的距离相等，则动点P轨迹是抛物线. (2)抛物线的焦点到准线的距离是p. (3)平面内到一定点距离与一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线. × √ × 2.判断抛物线的开口方向. (1) y 2 = 4x； (2) x2 +y=0； (3) y2 +8x=0； (4) x2-8y=0. 例析 例1.(1)已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点是，求它的标准方程. l 解(1)：因为，抛物线的焦点在轴正半轴上， 所以它的焦点坐标是，准线方程是. (2)因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，， 所以抛物线的标准方程是 【巩固1】抛物线的标准方程 练习1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 P133-2 练习2.求适合下列条件的抛物线的标准方程. （1）焦点为(-3,0)； （2）准线方程为y=1； （3）焦点到准线的距离为2； y²= -12x x²=﹣4y （4）抛物线过点(3,﹣4)； y²=±4x或x²=±4y 焦点为(0,-1) p=2 【巩固1】抛物线的标准方程 定形(抛物线焦点位置) 定量(参数p的值) 练习3.焦点在x轴上的抛物线上一点A(-3,m)到焦点的距离为5， 则该抛物线的标准方程为__________. 练习4.抛物线x²=2py(p>0)上一点M的横坐标为-4，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为_________________. 【巩固】抛物线的标准方程 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 课堂小结 Lavf58.20.100 球在空中运动的轨迹是 抛物线,那么抛物线它有 怎样的几何特征呢? Lavf58.76.100 $$