24.4 弧长和扇形面积 教学设计2023－2024学年人教版九年级数学上册

弧长和扇形面积 教学设计 教学目标 教学目标: (1)经历探索弧长和扇形面积公式的过程,培养学生的探索能力,会利用弧长和扇形面积计算公式解决问题. (2)在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中,理解局部与整体之间的关系,感受转化、类比的数学思想. (3)体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性. 教学重难点 教学重点:弧长公式及扇形面积公式的推导和应用 教学难点:弧长公式及扇形面积公式的推导 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 00:00-01:37 情景引入 提出问题 熊大、熊二、吉吉要给光头强过生日,他们4人要平分一块蛋糕,熊二自告奋勇切蛋糕,因为熊二没有分均匀,被惩罚最后选蛋糕,光头强选择了最大的,熊大选择了第二块,吉吉选择了第三块,熊二选择了最小的. 后来,光头强将自己的蛋糕又分了一下,把这一块半圆分给3个伙伴. 切蛋糕时,切出来这的几部分都叫做扇形,像展开的扇子。这块大的虽然不太像扇子,但它也是扇形,同学们熟悉的半圆也是特殊的扇形。在生活中,切西瓜、切大饼也可以产生扇形,校园里的银杏叶也是扇形. 扇形是独特的平面图形,它是由线段和曲线共同围成的图形。围成扇形的曲线,也就是弧,弧的长度引起了人们的兴趣,扇形的面积也是让人着迷的问题. 课前预习 1.扇形的概念: 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.半圆是(是/不是)扇形. 2.生活中的扇形十分常见,如扇形蛋糕、银杏叶扇形盘子、扇形西瓜、扇贝壳、孔雀开屏、扇形统计图、扇形置物架等.请试举一例. 设计意图:感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性. 01:37-03:24 问题探究一 要研究扇形的弧长和面积公式,首先请出两个祖师爷公式,圆的周长和圆的面积公式. 学生思考,能容易回答出圆的周长和圆的面积公式. 展示:圆的周长=2 R和圆的面积= R2 这两个公式都是小学已经学过的,大家都已经比较熟悉了。如何通过这两个公式找到计算弧长和扇形面积的方法呢? 思考:如果让你切蛋糕,平分给4个人,你如何切呢? 将蛋糕切成2个半圆,每个半圆的面积就是圆面积的,也就有 S=S圆= R2,再把两个半圆,切为圆心角为90 的扇形,每个扇形的面积就是圆面积的,也就有S=S圆= R2. 细心的同学发现,要求扇形的面积,要知道圆的面积和扇形与圆的比。同样,要计算弧长,就要知道圆的周长和弧与圆周的比。 要知道圆的面积和圆的周长,知道圆的半径R就可以了,那这个比怎么知道呢?想想刚刚的平分到的蛋糕为什么是圆的? 学生思考,因为圆所对应的圆心角是360 ,这个扇形所对的圆心角是90 ,,也就是扇形或者弧所对圆心角与360 的比. 设圆心角为n ,比例: 弧长l=圆周长 =2 R = 扇形面积S扇形=圆面积 == 找到半径R和圆心角n就可以计算弧长和扇形面积 设计意图:从特殊到一般,教师引导学生抓住弧长和圆周长的比例关系来推导公式;教师对弧长公式进行解析,使学生更加清楚公式中涉及到的量. 03:24-04:00 公式的直接应用:练习 学生独立解决以下问题: 练习: 1.半径为2的圆中,120 的圆心角所对的弧长是多少? 弧长l=圆周长 =2 R = 是准确值,3.14是近似值 除非题中告诉要取近似值,否则最后的答案写. 2.半径为2的圆中,一段弧长为2 的弧,求它所对的圆心角的度数. ∵l=2 R =2 ,R=2 ∴2 2 =2 ∴n=180 设计意图:熟悉弧长公式 04:00-04:34 公式在生活中的应用 例1.制造弯形管道时,要先按中心线计算“展直长度”, 再下料,试计算图所示管道的展直长度L.(结果取整数) 要这个弯形管道的展直长度包括哪些部分? 分析:管道的展直长度 L=AC的长+BD的长+弧AB的长 解:由弧长公式l=,得弧AB的长 l==500 (mm) ∴所求的展直长度 L=2 700+1570=2970(mm) 答:管道的展直长度约为2970mm. 设计意图:应用弧长公式解决实际生活中的问题 04:34-05:12 问题探究二 我们已经知道: 弧长l=圆周长 =2 R = 扇形面积S扇形=圆面积 == S是扇形面积,R是半径,n是扇形圆心角的度数. 思考:观察扇形面积与弧长公式, 能不能用弧长表示扇形面积? S扇形===== 求扇形面积,已知半径R和圆心角n,用公式一 S扇形= 已知半径R和弧长l,用公式二 S扇形= 设计意图:探索扇形面积与弧长的关系,推导扇形面积公式. 05:12-05:37 公式的直接应用:练习 学生独立解决以下问题: 1. 已知扇形的圆心角为120 ,半径为2,则这个扇形的面积等于多少? S扇形== 2. 已知扇形面积为 ,圆心角为60 ,则这个扇形的半径R等于多少? ∵S