24.4 弧长和扇形面积 第1课时 教案 2023—2024学年人教版九年级数学上册

24.4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 一、教学目标 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程. 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. 二、教学重难点 重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. 难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程. 三、教学过程 【新课导入】 [复习回顾]生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和面积公式，你还记得吗？ 圆的周长公式：或（R表示圆的半径，d表示圆的直径） 圆的面积公式： 【新知探究】 （1） 弧长 [思考]弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分；扇形是圆的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分.那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？ [思考]问题1 如图所示，在半径为R的⊙O上，有两动点A、B，当A、B两点在圆上运动时，想一想弧AB的长度与什么因素有关？ 与∠AOB的大小有关 当∠AOB＝360°时，弧AB的长表示什么意思？ ⊙O的周长，即l＝2πR 当∠AOB＝1°时呢？弧AB的长与整个圆的周长是什么关系？ 此时弧AB的长是整个圆的周长的，即l= . 当∠AOB＝2°时，弧AB的长呢？ 弧AB的长是整个圆的周长的，即l ＝. 当∠AOB＝n°时，弧AB的长呢？ 弧AB的长是整个圆的周长的，即l＝ [归纳总结] 弧AB的长l＝，这就是弧长的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径. 弧长公式：在半径为R的圆中，nº的圆心角所对的弧长:l＝. 注意： （1）在应用弧长公式l＝,进行计算时，要注意公式中n的意义,n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； （2）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧． 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L.(结果取整数) 解：由弧长公式，可得AB的长 因此所要求的展直长度L =2×700+1570=2970（mm）. 答：管道的展直长度为2970mm． （二）扇形面积 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形. 如图，阴影部分是一个扇形，记作扇形OAB. [思考]问题2 你能类比前面弧长计算公式的推导，得到扇形的面积计算公式吗？试试看吧！ 类似前面弧长的讨论，我们可以知道扇形AOB的面积也与圆心角∠AOB的大小有关：当∠AOB＝360°时，扇形AOB的面积就是整个圆的面积，即. 当∠AOB＝1°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的，即= . 当∠AOB＝2°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的，即= . 当∠AOB＝n°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的，即= . [归纳总结] 扇形AOB的面积= ，这就是扇形面积的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径. [思考]现在我们从特殊到一般的方法推导出弧长的计算公式和扇形面积的计算公式，对比这两个公式，你能找到它们之间的联系吗？ 都含有π；都与圆心角度数n有关；都与圆的半径R有关…… 实际上，扇形的面积计算公式里就包含着一个弧长计算公式，聪明的你们发现了吗？ 因为，而l＝，所以 . 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm） 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C,连接AC. ∵OC＝0.6, DC＝0.3, ∴OD＝OC- DC＝0.3，∴OD＝DC. 又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC. 从而∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚. 有水部分的面积： S＝S扇形OAB- SΔOAB [归纳总结]弓形的面积公式 S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形 【课堂小结】 【课堂训练】 1.运用弧长计算公式解决下列各题： （1）半径为3cm，圆心角为30°的弧长为cm； （2）半径为6cm，圆心角为120°的弧长为4cm； （3）半径为4cm，长度为2π的弧所对的圆心角是90度； （4）圆心角为150°，长度为5π的弧所在圆的半径是6. 2.运用扇形面积计算公式解决下列各题： （1）半径为3cm，圆心角为30°的扇形面积为cm2； （2）半径为6cm，圆心角为120°的扇形面积为4cm2； （3）半径为4cm，面积为4π的扇形所对应的圆心角是90 °； （4）圆心角为150°，面积为的扇形所在圆的半径是2. 3.（1）如图（1），以△ABC的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的面积 是； （2）如图（2），若将三角形改为四边形