3.3.2 第1课时(抛物线的简单几何性质)课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第一课时 (抛物线的简单几何性质) 一、知识回顾 定义 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 二、探究新知 类比用方程研究对椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线 y2=2px(p>0) 的哪些几何性质?如何研究这些性质? 观察右下图,类比研究椭圆、双曲线范围的方法，发现抛物线y2=2px(p>0)上点的横坐标、纵坐标的范围是多少？ 你能利用方程(代数方法)解释它的范围吗？ 1.范围: x≥0，y∈R 三、抛物线的简单几何性质 由y2=2px(p>0)得2px≥0. 所以x≥0，y∈R. 当x>0时，抛物线在y轴的右侧， 开口方向与x轴的正方向相同;当x的 值增大时，|y|的值也增大，这说明 抛物线向右上方和右下方无限延伸. y F x O 类比研究椭圆、双曲线对称性的方法,你能得到抛物线的对称性吗? 2.对称性: F x y O M(x,y) 关于x轴对称 关于x轴 对称 即点(x,-y)也在抛物线上. ∴抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称. 则(-y)2 = 2px 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 三、抛物线的简单几何性质 3.顶点: 类比研究椭圆、双曲线顶点方法,你能得到抛物线的顶点吗? F x O y 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点. (0,0) 当y=0时，x=0， 因此抛物线的顶点就是原点. 三、抛物线的简单几何性质 4.离心率: e=1 F x O y M(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，用e表示. 根据抛物线的离心率的定义，抛物线的离心率为多少？ 三、抛物线的简单几何性质 在同一坐标系画下列抛物线,观察开口大小与p的关系. ①y2=4x ②y2=2x ③y2=x ④ x y O y2=4x y2=2x y2=x p越大, 开口越开阔 三、抛物线的简单几何性质 四、典型例题 例1 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36的短轴所 在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及 抛物线的准线方程. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、典型例题 例2 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M(2, 　 )，求它的标准方程. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、典型例题 顶点在原点，对称轴是坐标轴,并且经过点M(2, )的抛物线有几条?求出这些抛物线的标准方程. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、典型例题 方法归纳 求抛物线方程,通常用待定系数法. (1)若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出p值即可. (2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论. (3)焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0). 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、典型例题 例3 已知抛物线y2=8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围； (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB， |OA|= |OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、典型例题 方法归纳 由抛物线的方程研究几何性质的解题步骤: (1)把抛物线方程化为标准形式. (2)由抛物线标准方程确定开口与焦点位置，关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负. (3)由标准方程确定p的值，从而写出抛物线的几何性质. (4)焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 图形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e 五、课堂小结 1.抛物线的简单几何性质： y2=2px (p>0) x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0x∈R y≤0 x∈