21.4 二次函数的应用 学案 2023--2024学年沪科版数学九年级上册

21.4 二次函数的应用 第1课时 二次函数的应用(1) 1.经历探究图形的最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验. 2.经历探索问题的过程,获得利用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型和数学应用的价值,通过观察、比较、推理、交流等过程,发展获得一些研究问题与合作交流的方法与经验. 3.通过动手实做及同学之间的合作与交流,让学生积累经验,发展学习动力. 【教学重点】 会根据不同的条件,利用二次函数解决生活中的实际问题. 【教学难点】 从几何背景及实际情景中抽象出函数模型. 一、情景导入,初步认知 问题:某开发商计划开发一块三角形土地,它的底边长100米,高80米.开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼,这座大楼地基的最大面积是多少? 要解决这些实际问题,实际上也就是求面积最大的问题,在数学中也就是求最大值的问题.这节课我们看能否用已学过的数学知识来解决以上问题. 【教学说明】通过几个实际情景设置悬念,引入新课. 二、思考探究,获取新知 探究:在第21.1节的问题中,要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米?它的最大面积是多少平方米? 根据题意,可得, S=x(20-x) 问题:①这是一个什么函数? ②要求最大面积,就是求 的最大值. ③你会求S的最大值吗? 将这个函数的表达式配方,得 S=-(x-10)2+100(0<x<20) 这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段,如图, 它的顶点坐标是(10,100),所以,当x=10时,函数取最大值,即 S最大值=100(m2) 此时,另一边长=20-10=10(m) 答:当围成的矩形水面边长都为10m时,它的面积是最大为100m2. 你能总结此类题目的解题步骤吗? 【归纳结论】在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中,可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.其步骤为: 第一步设自变量; 第二步建立函数的解析式; 第三步确定自变量的取值范围; 第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量的取值范围内). 【教学说明】由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值,因此首先和同学们一起复习二次函数最值的求法,对于一般式,要求掌握配方法的同时,也能利用基本结论,对于顶点式,要求能直接说出其最值及取得最值时自变量的值. 三、运用新知,深化理解 1.教材P37例2. 2.求下列函数的最大值或最小值. (1)y=2x2-3x-5; (2)y=-x2-3x+4. 【分析】由于函数y=2x2-3x-5和y=-x2-3x+4的自变量x的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值. 解:(1)二次函数y=2x2-3x-5中的二次项系数2>0, 因此抛物线y=2x2-3x-5有最低点,即函数有最小值. 因为y=2x2-3x-5=2(x-)2-, 所以当x=时,函数y=2x2-3x-5有最小值是-. (2)二次函数y=-x2-3x+4中的二次项系数-1<0, 因此抛物线y=-x2-3x+4有最高点,即函数有最大值. 因为y=-x2-3x+4=-(x+)2+, 所以当x=-时,函数y=-x2-3x+4有最大值是. 3.要用总长为20m的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形的花圃,怎样围法才能使围成的花圃的面积最大? 【分析】先写出函数关系式,再求出函数的最大值. 解:设矩形的宽AB为xm,则矩形的长BC为(20-2x)m,由于x>0,且20-2x>0,所以0<x<10. 围成的花圃面积y与x的函数关系式是y=x(20-2x),即y=-2x2+20x. 配方得y=-2(x-5)2+50 所以当x=5时,函数取得最大值,最大值y=50. 因为x=5时,满足0<x<10,这时20-2x=10. 所以应围成宽5m,长10m的矩形,才能使围成的花圃的面积最大. 4.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.如果设矩形的一边AB=xm,那么当x为多少时,矩形面积最大?最大面积是多少? 5.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上,分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y. (1)用含y的代数式表示AE; (2)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围; (3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关系,并求出S的最大值. 解:(1)由题意可知,四边形DECF为矩形,因此 AE=AC-DF=8-y. (2)由DE∥BC,得, 即, 所以,y=8-2x, x的取值范围是0<x<4. (3)S=xy=x(8-2x)=-2x2+8x=-2(x-2)2+8所以,当x=2时,S有最大值8. 【教学说明】应用所学知